Péndulo: tensión y energía con ejercicios paso a paso

En el punto más bajo de un péndulo, la aceleración tangencial es cero, pero la aceleración total no tiene por qué serlo. Si la masa se mueve, necesita aceleración centrípeta hacia el soporte. Por eso la tensión puede superar al peso precisamente cuando la velocidad alcanza su máximo.

Esta práctica es una ampliación de fundamentos de mecánica. No afirma que los péndulos formen parte del temario oficial de todas las comunidades. Utilizaremos tres situaciones originales para combinar conservación de energía y segunda ley de Newton, sin sustituirlas por una fórmula de período.

Define el modelo y los dos ejes

El péndulo consiste en una masa puntual m unida a un hilo ideal de longitud L, inextensible y sin masa. El soporte permanece fijo y el movimiento ocurre en un plano vertical. Despreciamos resistencia del aire y rozamiento. El hilo está tenso durante los tramos estudiados.

Medimos el ángulo θ desde la vertical hacia abajo y tomamos como referencia de energía potencial el punto más bajo. La altura es h = L(1 − cos θ). Esta relación es geométrica y no necesita aproximar el seno por el ángulo.

La explicación del péndulo de OpenStax identifica peso y tensión, y distingue la aproximación de ángulos pequeños. Aquí no emplearemos esa aproximación: los balances de energía y fuerza radial sirven para los ángulos declarados.

En dirección radial elegimos positivo hacia el soporte. La componente del peso contraria a ese sentido es mg cos θ. Newton da T − mg cos θ = mv²/L, luego T = mg cos θ + mv²/L. El término de velocidad distingue tensión y peso.

Primer ejercicio: soltar desde sesenta grados

Una masa de 0,200 kg cuelga de un hilo de 0,800 m. Se suelta desde reposo a θ0 = 60°. Usa g = 9,80 m/s². Calcula la velocidad y tensión al pasar por abajo.

Paso 1. Altura inicial. h0 = 0,800·(1 − 0,5) = 0,400 m. La caída transforma energía potencial gravitatoria en cinética.

Paso 2. Energía. mgh0 = ½mv². La masa se cancela y v² = 2·9,80·0,400 = 7,84 m²/s². Por tanto, v = 2,80 m/s.

Paso 3. Fuerza radial. Abajo cos θ = 1. El peso es 1,96 N y mv²/L = 0,200·7,84/0,800 = 1,96 N. Así T = 3,92 N.

Paso 4. Interpretación. La tensión vale dos veces el peso en ese instante. La resultante hacia arriba no es cero: proporciona la aceleración centrípeta v²/L = 9,80 m/s².

Que la trayectoria tenga tangente horizontal abajo no significa movimiento rectilíneo. La velocidad cambia de dirección mientras la masa sigue el arco.

Segundo ejercicio: una posición intermedia

En el mismo movimiento, calcula velocidad y tensión cuando el hilo forma 30° con la vertical. Usa cos 30° ≈ 0,866025.

La energía entre la suelta y esa posición da v² = 2gL(cos θ − cos θ0). Sustituyendo: v² = 2·9,80·0,800·(0,866025 − 0,5) ≈ 5,7393. La rapidez es aproximadamente 2,40 m/s.

Para la tensión, mg cos θ ≈ 1,6974 N y mv²/L ≈ 1,4348 N. La suma es T ≈ 3,13 N. No uses 3,92 N en todo el recorrido: la tensión varía con posición y velocidad.

Ahora examina el instante inicial. Como se suelta desde reposo, v = 0 y T = mg cos 60° = 0,980 N. La tensión es menor que el peso, pero el hilo no está flojo: T es positiva.

En ese extremo, la aceleración radial es cero mientras la tangencial tiene módulo g sin 60° ≈ 8,49 m/s². La masa empieza a moverse por esa componente tangencial del peso. «Velocidad cero» y «aceleración cero» no son equivalentes.

Tercer ejercicio: recuperar el ángulo a partir de una tensión

Otro péndulo ideal se suelta desde reposo y al pasar por abajo su tensión medida es 1,50 veces el peso. ¿Qué ángulo inicial corresponde al modelo?

Abajo T/(mg) = 1 + v²/(gL). Por energía, v² = 2gL(1 − cos θ0). Al sustituir, T/(mg) = 3 − 2 cos θ0.

Imponemos 1,50 = 3 − 2 cos θ0. Resulta cos θ0 = 0,750 y θ0 ≈ 41,4°. El resultado no depende de m ni de L porque trabajamos con una razón de fuerzas bajo estas hipótesis.

Comprueba el intervalo: el ángulo está entre cero y 90°, y la tensión inicial mg cos θ0 es positiva. No hemos usado una oscilación completa ni una fórmula de período para obtenerlo.

Si alguien obtiene cos θ0 = 1,25, la respuesta no es «un ángulo muy pequeño»: ningún ángulo real tiene ese coseno. Debe revisar el despeje o la compatibilidad de los datos.

Cuarto ejercicio: cambiar masa o longitud

Duplica la masa del primer caso conservando longitud y ángulo de suelta. La rapidez abajo sigue siendo 2,80 m/s porque la masa se cancela en la energía. En cambio, el peso y la tensión se duplican: T pasa a 7,84 N.

Duplica ahora únicamente la longitud. La altura inicial y v² se duplican, por lo que la rapidez aumenta por un factor √2. Sin embargo, v²/L permanece igual; para el mismo ángulo inicial, la tensión abajo sigue siendo 3,92 N si la masa no cambia.

Estas conclusiones comparan casos con el mismo ángulo de suelta. Si se fijara la altura en vez del ángulo, cambiaría el razonamiento. Antes de afirmar que una magnitud no depende de otra, indica qué condiciones permanecen constantes.

Energía conservada no significa tensión constante

La tensión ideal es perpendicular al desplazamiento instantáneo y no realiza trabajo sobre la masa. Eso permite conservar la energía mecánica del modelo. No obliga a que su módulo permanezca constante ni a que coincida con mg.

Un hilo real puede estirarse, el aire disipa energía y un soporte móvil modifica el balance. Si un cálculo exigiera tensión negativa, el hilo no podría empujar: habría que abandonar el supuesto de trayectoria circular tensa para ese tramo.

Relaciona la distinción de componentes con movimiento armónico y energía. En la libreta de errores, dibuja por separado dirección radial y tangencial antes de sumar fuerzas.

Preguntas frecuentes

¿La tensión es igual al peso en el punto más bajo?

Solo si allí la velocidad es cero en este modelo. Si se mueve, la tensión supera al peso en mv²/L.

¿Al soltarse desde reposo no hay aceleración?

Puede haber aceleración tangencial aunque la velocidad y la aceleración radial sean cero en ese instante.

¿Hace falta aproximar seno de theta por theta para estos balances?

No. La altura L(1 − cos theta) y la ecuación radial se usan sin la aproximación de ángulos pequeños.

Separa la rapidez de la fuerza que curva la trayectoria

Repite el primer cálculo con un ángulo de suelta de 45° y verifica energía y tensión como dos pasos distintos. Para continuar con los fundamentos de la asignatura, consulta el curso de Física para Murcia, disponible para compra, y comprueba el temario que corresponde a tu preparación.