Límites 1 elevado a infinito: resolver con logaritmos

La expresión 1^∞ describe una forma indeterminada de un límite, no una operación que se resuelva escribiendo uno. La base se aproxima a uno mientras el exponente crece; el resultado depende de la velocidad relativa de ambos cambios.

En esta práctica compararemos potencias que tienen esa misma apariencia y terminan en números diferentes. Los ejemplos son originales. Trabajaremos con funciones reales de base positiva en un entorno del punto, condición necesaria para usar el logaritmo natural sin cambiar de problema.

El procedimiento que conserva la información

Si y(x) = f(x)^{g(x)} y f(x) > 0, entonces ln y = g(x) ln f(x). En vez de estudiar una potencia, estudiamos un producto. Si su límite es un número L, la identidad y = exp(g ln f) y la continuidad de la exponencial dan límite e^L.

Si el producto tiende a +∞, la potencia tiende a +∞. Si tiende a −∞, la potencia positiva tiende a cero. Son conclusiones diferentes de «el límite del logaritmo es el límite de la potencia»: no olvides la última exponencial.

Para bases f = 1 + u con u → 0 y 1 + u > 0, resulta especialmente útil ln(1 + u)/u → 1. Así, g ln(1 + u) puede escribirse como [g u]·[ln(1 + u)/u]. Si el primer factor tiene un límite manejable, el segundo tiende a uno.

Ejercicio 1: una base racional

Calcula el límite cuando x → +∞ de [(x + 5)/(x + 2)]^{2x − 1}.

Paso 1. Dominio y forma. Para x suficientemente grande, la base es positiva y tiende a uno. El exponente tiende a +∞.

Paso 2. Separar la perturbación. (x + 5)/(x + 2) = 1 + 3/(x + 2). Llamamos u = 3/(x + 2), que tiende a cero.

Paso 3. Tomar logaritmos. ln y = (2x − 1) ln[1 + 3/(x + 2)].

Paso 4. Reescribir sin perder factores. ln y = [(2x − 1)·3/(x + 2)]·[ln(1 + u)/u].

El primer factor tiende a 6 y el segundo a 1. Por tanto, ln y → 6.

Paso 5. Regresar a la potencia. El límite pedido es e⁶, aproximadamente 403,429.

No es e³: ese resultado olvidaría que el exponente se comporta como 2x. Tampoco es 6, que es el límite del logaritmo. La constante −1 del exponente no modifica el resultado en este caso, pero se mantiene durante el razonamiento para comprobarlo, en vez de borrarla por intuición.

Ejercicio 2: aproximación bilateral a cero

Calcula el límite cuando x → 0 de (1 + 4x)^{3/x}.

Paso 1. Positividad. Cerca de cero podemos tomar, por ejemplo, |x| < 1/8. Entonces 1 + 4x > 0, de modo que la potencia real y su logaritmo están definidos por ambos lados, aunque x = 0 quede excluido.

Paso 2. Logaritmo. ln y = 3 ln(1 + 4x)/x = 12·ln(1 + 4x)/(4x).

Paso 3. Límite conocido. Al poner u = 4x, obtenemos ln(1 + u)/u → 1. Por tanto, ln y → 12.

Paso 4. Resultado. y → e¹², aproximadamente 162 754,791.

Por la derecha la base es mayor que uno y el exponente es positivo. Por la izquierda la base es menor que uno y el exponente es negativo. Ambas combinaciones pueden conducir al mismo límite mayor que uno: no basta con observar si la base queda por encima o por debajo de uno.

También se puede resolver el cociente ln(1 + 4x)/x mediante L’Hôpital: es 0/0, las funciones son derivables en un entorno adecuado, el denominador derivado es 1 y el cociente de derivadas tiende a 4. Multiplicando por 3 se recupera 12. La regla se aplica al cociente transformado, nunca a la potencia directamente.

Ejercicio 3: misma forma, tres comportamientos

Compara cuando x → +∞ estas tres expresiones:

A = (1 + 2/x²)^x.

B = (1 + 2/x²)^{x²}.

C = (1 + 2/x²)^{x³}.

Todas tienen base que tiende a uno y exponente que crece sin límite. No tienen por qué compartir resultado.

Paso 1. Variable común. u = 2/x². El factor ln(1 + u)/u tiende a uno en los tres casos.

Paso 2. Expresión A. ln A = (2/x)·[ln(1 + u)/u] → 0. Por tanto, A → e⁰ = 1.

Paso 3. Expresión B. ln B = 2·[ln(1 + u)/u] → 2. Por tanto, B → e².

Paso 4. Expresión C. ln C = 2x·[ln(1 + u)/u] → +∞. Como el segundo factor tiende a uno y es positivo para x grande, C → +∞.

Hemos obtenido uno, un número finito distinto de uno e infinito a partir de la misma forma inicial. Eso demuestra por qué 1^∞ se llama indeterminación: las tendencias de base y exponente aisladas no fijan el límite.

Una variante con resultado cero

Si en C cambiamos la base por 1 − 2/x² y mantenemos x³, la base sigue siendo positiva para x suficientemente grande. Ahora u = −2/x² y x³u = −2x. Como ln(1 + u)/u → 1, el logaritmo tiende a −∞ y la potencia tiende a cero.

El signo importa. No conviertas automáticamente cualquier perturbación pequeña en una exponencial positiva. El producto del exponente por la perturbación orienta el resultado, siempre acompañado de una justificación del cociente logarítmico.

Un guion de autocorrección

Empieza indicando el dominio local y la forma que aparece. Después introduce y, toma el logaritmo y calcula su límite. Termina exponenciando y señalando si el resultado es finito, cero o infinito.

Si usas L’Hôpital, escribe la forma 0/0 o ∞/∞ del cociente al que se aplica, verifica derivabilidad y denominador derivado no nulo en el entorno relevante, y comprueba que el límite de las derivadas existe. No es obligatorio emplearla cuando un límite conocido simplifica el trabajo.

Por último, distingue calcular un límite de derivar una función con base y exponente variables. En ambos problemas puede ayudar el logaritmo, pero aquí interesa una tendencia, no la fórmula de una derivada.

Referencia conceptual: fuente académica consultada. Los enunciados, datos y soluciones son originales.

Relaciona esta práctica con el tema de base. La libreta de errores sirve para organizar las correcciones de tus intentos; no es una colección de estos ejercicios.

Preguntas frecuentes

¿Una base que tiende a uno hace que la potencia tienda siempre a uno?

No si el exponente crece sin límite. Hay que estudiar conjuntamente la aproximación de la base y el crecimiento del exponente.

¿Puedo aplicar L’Hôpital directamente a una potencia?

No. Primero puede tomarse el logaritmo con base positiva y transformar el producto resultante en un cociente adecuado, comprobando las hipótesis.

¿Qué hago después de calcular el límite de ln y?

Si ln y tiende a un número L, la potencia y tiende a e elevado a L por continuidad de la exponencial.

Volver de ln y a la potencia original

Escribe en dos líneas separadas el límite del logaritmo y el de la potencia. Para practicar esta justificación junto con continuidad, derivadas e integración, consulta el curso de Matemáticas II de Navarra y sus condiciones actuales. Consulta la ficha del curso, disponible para comprar; allí se indican contenidos y condiciones actuales.