Ley de Bragg: ángulo, orden y distancia entre planos

Un patrón de difracción de rayos X puede revelar distancias muy pequeñas sin observar directamente una regla colocada entre átomos. La dificultad inicial no suele ser despejar una ecuación: es identificar qué ángulo se ha medido, a qué familia de planos se refiere el dato y qué se puede concluir del resultado.

Esta práctica de ampliación utiliza cristales ficticios, un modelo de planos paralelos y radiación monocromática. No supone que la difracción cristalina figure en todas las pruebas de acceso. Las distancias dadas no corresponden a un material identificado y no permiten deducir por sí solas su composición.

La sección de OpenStax sobre difracción de rayos X presenta la condición de Bragg y su geometría. Aquí trabajamos con números originales y distinguimos el cálculo geométrico de la interpretación completa de un patrón.

La condición y el ángulo que utiliza

Para una familia de planos separados una distancia d, la diferencia de recorrido del modelo es 2d sen θ. El refuerzo cumple mλ = 2d sen θ, con m entero positivo. λ representa la longitud de onda y θ el ángulo entre el rayo incidente y el plano, no entre el rayo y su normal.

El ángulo entre las direcciones del haz incidente y el difractado se registra habitualmente como 2θ en la geometría considerada. El enunciado debe aclararlo. Introducir directamente 2θ en una fórmula que espera θ modifica el resultado aunque la calculadora esté en grados.

Mantén d y λ en las mismas unidades. Trabajar en nanómetros resulta cómodo: 1 nm = 10⁻⁹ m. Una distancia de 0,240 nm equivale a 2,40 × 10⁻¹⁰ m, no a 2,40 × 10⁻⁷ m.

Ejercicio 1: calcula los tres primeros ángulos

Una familia de planos tiene d = 0,240 nm. La radiación posee λ = 0,150 nm. Calcula los ángulos θ de los órdenes uno, dos y tres.

Para m = 1, sen θ = 0,150/(2 × 0,240) = 0,3125. Aplicando el arco seno en grados obtenemos θ₁ ≈ 18,210°. Si el instrumento expresa 2θ, el valor correspondiente es aproximadamente 36,420°.

Para m = 2, sen θ = 0,300/0,480 = 0,625. Así, θ₂ ≈ 38,682°, o 2θ₂ ≈ 77,364°. El segundo ángulo no es el doble del primero: lo que se duplica es el seno, no el ángulo.

Para m = 3, sen θ = 0,450/0,480 = 0,9375. Por tanto, θ₃ ≈ 69,636°, equivalente a 2θ₃ ≈ 139,272°.

Conserva algunos decimales al calcular, pero no interpretes su escritura como una incertidumbre experimental demostrada. Los datos del ejercicio permiten comparar operaciones; un instrumento real tendría resolución, calibración y otras limitaciones.

Ejercicio 2: descarta un orden imposible

¿Puede aparecer el cuarto orden para esa misma familia y longitud de onda? La ecuación pediría sen θ = 4 × 0,150/0,480 = 1,25.

No existe un ángulo real cuyo seno sea 1,25. La conclusión es que el cuarto orden no satisface la condición geométrica del modelo. No intentes sustituir el valor por uno ni aceptar un resultado complejo de la calculadora como ángulo físico.

El límite se obtiene de mλ ≤ 2d. Aquí m ≤ 0,480/0,150 = 3,2. Los enteros positivos permitidos geométricamente son 1, 2 y 3. No redondeamos 3,2 al entero más cercano por costumbre: necesitamos enteros que no superen el límite.

Este recuento no garantiza tres picos visibles. La intensidad y las ausencias pueden depender de la estructura cristalina, de la familia concreta y de las condiciones de detección. Hemos encontrado posibilidades geométricas, no simulado todo un difractograma.

Ejercicio 3: recupera la distancia desde un registro

Un segundo supuesto indica un máximo de primer orden a 2θ = 40,0°, con λ = 0,150 nm. Busca d.

El primer paso es θ = 40,0°/2 = 20,0°. Después despejamos d = λ/(2 sen θ), porque m = 1. El resultado es d ≈ 0,2193 nm, aproximadamente 2,19 × 10⁻¹⁰ m.

Si introdujeras 40,0° sin dividir, obtendrías aproximadamente 0,1167 nm. Las unidades seguirían pareciendo razonables y el resultado conservaría escala atómica, de modo que esa comprobación aislada no detectaría el fallo. Debes revisar también la definición del ángulo.

Supón ahora que el enunciado no identifica el orden. Con el mismo ángulo, m = 2 daría d ≈ 0,4386 nm. El registro aislado no permite elegir entre esas asignaciones sin información adicional. Escribir «primer orden» no es un adorno: elimina una ambigüedad del cálculo.

Ejercicio 4: interpreta un desplazamiento del pico

Para una misma longitud de onda, el mismo orden y la misma familia de planos, un máximo pasa de 2θ = 40,0° a 42,0°. ¿Aumenta o disminuye d?

θ pasa de 20,0° a 21,0°. En ese intervalo aumenta el seno, por lo que d = mλ/(2 sen θ) disminuye. Numéricamente, la segunda distancia es aproximadamente 0,2093 nm, menor que 0,2193 nm.

Esta comparación no autoriza a afirmar una causa concreta. Una modificación estructural, de temperatura u otra circunstancia requeriría datos propios. Si los dos picos correspondieran a familias distintas, tampoco podríamos describir el cambio como contracción de una misma separación sin justificar la asignación.

La ecuación responde a una relación geométrica. Una explicación física completa añade controles sobre qué se comparó y qué permaneció constante.

Preguntas frecuentes

¿El ángulo de Bragg se mide respecto a la normal al plano?

En la convención de estos ejercicios, no: theta se mide entre el rayo y el plano cristalino. Un registro que indique dos theta requiere dividir ese valor entre dos antes de aplicar la fórmula.

¿Cada orden que satisface la condición geométrica aparece siempre en el patrón?

No. La condición de Bragg no basta para predecir intensidades ni descartar ausencias asociadas a la estructura. Aquí solo comprobamos la posibilidad geométrica para una familia de planos.

¿La distancia obtenida es necesariamente el diámetro de un átomo?

No. Es el espaciado entre los planos de la familia considerada. Identificar otras dimensiones o toda la estructura requiere información adicional.

Decide qué mide el ángulo antes de despejar

Repite el tercer ejercicio escribiendo en líneas separadas dato instrumental, ángulo de Bragg y distancia. Después explica por qué el cuarto orden del primero es imposible y por qué los tres anteriores no garantizan tres intensidades observables.

Puedes conectar esta ampliación con la interferencia de doble rendija y registrar el error θ/2θ en la libreta de errores. Para continuar tu preparación, consulta Física de Murcia y la oferta real de su ficha; los ejercicios generales no sustituyen el programa ni las instrucciones de tu convocatoria.