Integrales impropias: convergencia y límites separados

Saber integrar una expresión no basta cuando el intervalo llega al infinito o la función se hace no acotada en su interior. El resultado depende de un límite, y a veces de varios límites que deben existir por separado. Un dibujo simétrico puede esconder esa exigencia.

Esta práctica es una ampliación de análisis con ejercicios originales. No presenta las integrales impropias como contenido obligatorio de todas las convocatorias de Matemáticas II. Su utilidad es afinar el significado de límite y evitar aplicar la regla de Barrow fuera de las condiciones que justifican una cuenta directa.

Sustituye el extremo problemático por un límite

La sección de integrales impropias de OpenStax distingue intervalos no acotados y singularidades del integrando. En ambos casos se trabaja primero en intervalos donde la integral ordinaria está definida.

Por ejemplo, ∫₁^∞ f(x) dx = lim cuando b→∞ de ∫₁ᵇ f(x) dx, si el límite es finito. No escribimos f(∞) ni tratamos infinito como un extremo numérico ordinario.

Para una singularidad en cero al integrar desde cero hasta uno, utilizamos lim cuando ε→0⁺ de ∫ε¹ f(x) dx. El acercamiento es por la derecha porque los intervalos considerados deben permanecer dentro del dominio del caso.

Si hay una singularidad interior, se divide el intervalo en ese punto y se exige convergencia de cada parte. Un único límite que haga acercarse ambos lados simultáneamente puede definir otra noción, pero no reemplaza esa exigencia.

Diremos que una integral converge cuando el límite pertinente es un número real finito. Si crece sin cota, no existe o alguna parte necesaria diverge, no la consideramos convergente en el sentido ordinario trabajado.

Ejercicio 1: infinito no significa área infinita

Calcula ∫₂^∞ 6/x² dx y compárala con ∫₂^∞ 6/x dx.

Primer caso. Paso 1. Cortamos en b > 2: ∫₂ᵇ 6x⁻² dx = [−6/x]₂ᵇ = 3 − 6/b.

Paso 2. Al hacer b→∞, 6/b→0. La integral converge a 3.

La región se extiende indefinidamente hacia la derecha, pero su contribución adicional disminuye lo suficiente para que la suma total sea finita. Extensión horizontal y área no son la misma magnitud.

Segundo caso. Paso 1. ∫₂ᵇ 6/x dx = 6 ln b − 6 ln 2 = 6 ln(b/2).

Paso 2. El logaritmo crece sin cota cuando b→∞. La integral diverge a +∞.

Ambos integrandos tienden a cero. Por tanto, que f(x)→0 no es condición suficiente de convergencia. La comparación depende de cómo se acumula su contribución a lo largo del intervalo, no únicamente de su límite puntual.

Como control, el primer caso desde b hasta infinito aporta 6/b. Después de integrar hasta b = 60 queda una contribución de 0,1. El número expresa una cola de área en este modelo matemático, no una incertidumbre experimental.

Ejercicio 2: cambiar de extremo cambia el criterio

Estudia ∫₀¹ x⁻ᵖ dx para un parámetro real p. Después contrasta el resultado con la integral desde uno hasta infinito.

Si p ≠ 1, una primitiva es x^(1−p)/(1−p). Entre ε y uno obtenemos:

(1 − ε^(1−p))/(1−p).

Cuando p < 1, el exponente 1−p es positivo y ε^(1−p)→0. La integral converge a 1/(1−p).

Cuando p > 1, el integrando es positivo y el término ligado a ε hace crecer el resultado sin cota. La integral diverge. Para p = 1, la expresión se resuelve aparte: ∫ε¹ dx/x = −ln ε→+∞.

Por tanto, cerca de cero la condición es p < 1. Para p = 1/2 obtenemos 2; para p = 3/4 obtenemos 4. Una función puede hacerse infinita al aproximarse al extremo y tener integral finita.

Ahora estudiamos ∫₁^∞ x⁻ᵖ dx. Con el corte b, el término decisivo es b^(1−p). Esta vez desaparece cuando p > 1, y el resultado es 1/(p−1). Converge para p > 1, no para p < 1.

No memorices «p mayor que uno» sin indicar el extremo problemático. En cero y en infinito los criterios son opuestos para esta familia. El caso p = 1 diverge en ambos intervalos, pero mediante límites diferentes.

Ejercicio 3: la simetría no permite restar infinitos

Considera ∫₋₁¹ dx/x. La función no está definida en cero. ¿Puede darse resultado cero porque es impar?

Paso 1. Divide donde está la singularidad. Debemos estudiar ∫₋₁⁰ dx/x y ∫₀¹ dx/x por separado.

Paso 2. Lado izquierdo. Con ε positiva, ∫₋₁^(−ε) dx/x = ln ε. Cuando ε→0⁺, el resultado tiende a −∞.

Paso 3. Lado derecho. ∫ε¹ dx/x = −ln ε→+∞.

Ninguna de las dos partes converge a un número finito. La integral impropia ordinaria diverge. Escribir −∞ + ∞ = 0 no es una operación válida.

Si utilizas el mismo ε a ambos lados y sumas antes del límite, obtienes cero para cada corte simétrico. Esa construcción es el valor principal de Cauchy simétrico, definido mediante un corte común en la referencia DLMF del NIST, una noción distinta. Su existencia no convierte en convergente la integral impropia ordinaria.

La diferencia también aparece si acercas los cortes a ritmos distintos. Por ejemplo, sustituir el corte derecho ε por 2ε produce ln ε − ln(2ε) = −ln 2. El resultado depende de la regla de aproximación; por eso no equivale a exigir dos límites independientes.

Ejercicio 4: singularidad interior que sí permite sumar

Analiza ∫₋₁¹ 1/√|x| dx. Hay singularidad en cero, pero cada lado es positivo y tiene el mismo comportamiento integrable.

La parte derecha vale lim ∫ε¹ x⁻¹/² dx = lim 2(1 − √ε) = 2. Por el cambio u = −x, la parte izquierda también converge a 2.

Como ambas partes son finitas por separado, la integral total converge a 4. Aquí la simetría facilita una cuenta que ya respeta la definición; no intenta ocultar dos divergencias.

La guía de métodos de integración ayuda a obtener primitivas. Esta práctica resuelve una cuestión posterior y diferente: si la evaluación mediante límites produce realmente una integral finita.

Preguntas frecuentes

¿Tener una primitiva garantiza que la integral impropia converge?

No. Debes calcular los límites que definen la integral y comprobar que todos los necesarios son finitos. Una primitiva no permite sustituir infinito como si fuera un número.

¿Puedo cancelar dos divergencias de signos opuestos?

No en la integral impropia ordinaria. Si hay una singularidad interior, las dos integrales laterales deben converger por separado; no se define su suma restando infinitos.

¿Una función no acotada puede tener integral finita?

Sí. Por ejemplo, 1/√x no está acotada cerca de cero, pero su integral impropia entre cero y uno converge a dos. Hay que estudiar el límite, no solo observar que la función crece.

Comprueba cada límite antes de sumar los resultados

Marca infinito y cada singularidad antes de elegir la primitiva. Escribe después una condición de convergencia junto a cada parte. Guarda la distinción entre integral ordinaria y valor principal en la libreta de errores y consulta la ficha de Matemáticas II de Navarra, disponible para comprar, para continuar con análisis.