Inflexión: segunda derivada cero y tangente horizontal

Resolver f″(x) = 0 produce candidatos, no una lista automática de puntos de inflexión. Tampoco una tangente horizontal garantiza un máximo o un mínimo. Ambas confusiones desaparecen si separas lo que miden la primera y la segunda derivada.

Aquí trabajaremos con polinomios y una función continua definida por tramos. Los ejemplos comparan tres situaciones distintas: inflexión con pendiente no nula, segunda derivada cero sin inflexión e inflexión donde la segunda derivada no existe. No hace falta representar toda la función para justificar cada clasificación.

Un criterio con significado geométrico

En un intervalo donde existe f″, su signo describe la concavidad: si f″ > 0, la pendiente f′ aumenta y la gráfica es cóncava hacia arriba; si f″ < 0, la pendiente disminuye y es cóncava hacia abajo.

Utilizaremos como punto de inflexión un punto de la gráfica donde la función es continua y cambia de concavidad. Para justificarlo mediante derivadas, estudia el signo de f″ a ambos lados y comprueba que el punto pertenece a la función con el valor adecuado. Una discontinuidad entre dos ramas no se convierte en inflexión por cambiar el signo de f″.

Por su parte, f′ = 0 significa tangente horizontal cuando la derivada existe. Para clasificar un extremo necesitas otra comprobación, por ejemplo el cambio de signo de f′.

Ejercicio 1: inflexión sin tangente horizontal

Sea f(x) = (x − 2)³ + 5x − 1. Localiza su inflexión y decide si tiene extremos.

Paso 1. Derivadas. f′(x) = 3(x − 2)² + 5 y f″(x) = 6(x − 2).

Paso 2. Concavidad. Para x < 2, f″ es negativa; para x > 2, positiva. La función es un polinomio, así que es continua en dos. Hay un cambio real de concavidad.

Paso 3. Coordenadas. f(2) = 9. El punto de inflexión es (2,9), no simplemente «x = 2» si piden el punto completo.

Paso 4. Pendiente. f′(2) = 5, por tanto la tangente no es horizontal. Su ecuación es y − 9 = 5(x − 2), es decir, y = 5x − 1.

Paso 5. Extremos. f′(x) = 3(x − 2)² + 5 > 0 para todo x. La función es estrictamente creciente y no tiene máximos ni mínimos relativos.

Este ejemplo demuestra que una curva puede cambiar de concavidad mientras sigue creciendo. La pendiente disminuye hasta un valor positivo y después vuelve a aumentar: no necesita cambiar de signo.

Ejercicio 2: f″ = 0 sin inflexión

Considera g(x) = (x + 1)⁴ − 3. Estudia x = −1.

Paso 1. Derivadas. g′(x) = 4(x + 1)³ y g″(x) = 12(x + 1)².

Paso 2. Candidato. g″(−1) = 0, pero g″ es positiva a ambos lados. La gráfica es cóncava hacia arriba tanto antes como después del punto. No hay inflexión.

Paso 3. Extremo. g′ es negativa a la izquierda de −1 y positiva a la derecha. Por tanto (−1,−3) es un mínimo, con tangente horizontal.

Paso 4. Criterio inconcluyente. El criterio habitual de la segunda derivada para extremos no decide aquí, porque g″(−1) = 0. Eso no prueba que no exista extremo: obliga a utilizar otro criterio, como acabamos de hacer con g′.

La palabra «inconcluyente» es útil: un criterio que no decide no equivale a una conclusión negativa. Volver al signo de las derivadas resuelve el caso sin añadir reglas falsas.

Ejercicio 3: inflexión sin segunda derivada en el punto

Define h(x) = x|x|. Por tramos, h(x) = −x² cuando x < 0 y h(x) = x² cuando x ≥ 0.

Paso 1. Continuidad. Ambos límites en cero valen cero y h(0) = 0. La función es continua.

Paso 2. Primera derivada. A la izquierda h′ = −2x y a la derecha h′ = 2x. En cero, el cociente incremental h(t)/t = |t| tiende a cero, de modo que h′(0) = 0.

Paso 3. Segunda derivada. Para x < 0, h″ = −2; para x > 0, h″ = +2. En cero no existe h″: las derivadas laterales de h′ son distintas.

Paso 4. Concavidad. La gráfica pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y es continua en cero. Según la definición indicada, (0,0) es un punto de inflexión con tangente horizontal.

Paso 5. Monotonía. h′ es positiva a ambos lados de cero, por lo que no hay máximo ni mínimo allí. Una tangente horizontal tampoco obliga a un extremo en este ejemplo.

La igualdad f″(a) = 0 es, bajo hipótesis adecuadas de existencia, una condición necesaria para ciertos puntos de inflexión; no es una definición universal. Este caso enseña por qué también debes mirar dónde la segunda derivada deja de existir.

No llames inflexión a una separación de ramas

Para r(x) = 1/x, el dominio excluye cero y r″(x) = 2/x³. La concavidad tiene signos opuestos a ambos lados de cero, pero no existe un punto (0,r(0)) de la gráfica. No hay inflexión en cero.

Añadir artificialmente un valor aislado r(0) no arreglaría la continuidad: los límites siguen siendo infinitos. La definición exige algo más que encontrar dos signos distintos en una tabla.

Una tabla de revisión que puedes explicar

Para cada candidato escribe: dominio y continuidad, signo de f″ a la izquierda, signo a la derecha y coordenadas. Si además preguntan por extremos o tangente, añade el signo de f′ y el valor de f′ en el punto.

En los tres ejemplos anteriores aparecen combinaciones diferentes. El primero tiene inflexión con pendiente cinco; el segundo tiene mínimo y segunda derivada nula sin inflexión; el tercero tiene inflexión con pendiente cero y segunda derivada inexistente. Esa comparación permite justificar una respuesta mediante evidencias, en lugar de asociar cada igualdad a una etiqueta fija.

Fuentes y práctica complementaria

La fuente de referencia permite contrastar las relaciones y condiciones utilizadas. Los datos, ejercicios y soluciones de esta página son originales. Para relacionar esta práctica con el bloque, vuelve a la guía general, que aborda otras preguntas del tema.

En la libreta de errores puedes registrar el dato interpretado mal, tu primera respuesta y la corrección razonada. Es un recurso de organización del repaso; no contiene una batería adicional de estos ejercicios.

Preguntas frecuentes

¿f″(a) = 0 garantiza una inflexión?

No. Debes comprobar un cambio de concavidad y que el punto cumple las condiciones de la definición. Una segunda derivada nula solo identifica un candidato.

¿Una inflexión necesita tangente horizontal?

No. En f(x) = (x − 2)³ + 5x − 1 la inflexión está en (2,9) y la pendiente es cinco.

¿Puede haber inflexión si no existe la segunda derivada en el punto?

Sí, según la definición utilizada. En h(x) = x|x| hay continuidad y cambio de concavidad en cero, aunque h″(0) no exista.

Confirma el cambio de concavidad antes de nombrar el punto

Construye una tabla que reúna dominio, continuidad, signos de la segunda derivada y pendiente para los tres casos resueltos. Después contrasta tu razonamiento con las condiciones del enunciado, además de revisar el resultado. Si buscas preparación por comunidad, consulta el curso de Matemáticas II: su ficha muestra la disponibilidad, el precio y las condiciones antes de comprar.