Inecuaciones con valor absoluto: intervalos y casos

Las barras de valor absoluto representan una magnitud no negativa, no una orden de borrar todos los signos menos. Una desigualdad con barras puede describir puntos cercanos a otro, puntos alejados o una comparación cuyo lado derecho cambia de signo. Distinguir esos casos permite resolver sin producir intervalos incompatibles.

Esta práctica refuerza álgebra previa al análisis. Los ejercicios son originales y no se presentan como un modelo oficial de una comunidad. Trabajamos con números reales y escribimos las condiciones de dominio antes de transformar cada expresión.

Una distancia cambia la forma de leer la desigualdad

La sección de funciones de valor absoluto de OpenStax interpreta |x − a| como la distancia entre x y a. Esa lectura justifica por qué |x − a| ≤ r, con r no negativo, selecciona puntos dentro de un intervalo.

Algebraicamente, |A| ≤ r equivale a −r ≤ A ≤ r cuando r ≥ 0. En cambio, |A| > r equivale a A < −r o A > r para r no negativo. La primera condición combina límites mediante «y»; la segunda reúne dos posibilidades mediante «o».

Si r es negativo, no puedes utilizar el dibujo de un radio positivo sin revisar el caso. Ningún valor absoluto es menor o igual que −2. Por el contrario, todo valor absoluto es mayor que −2. El cero también es no negativo; no lo excluyas por decir informalmente que el módulo «siempre es positivo».

Cuando la cantidad de la derecha depende de x, su signo forma parte del problema. Antes de elevar al cuadrado o dividir, identifica las restricciones que hacen equivalente la transformación.

Ejercicio 1: dentro y fuera de un intervalo

Resuelve |2x − 3| ≤ 5.

Paso 1. Desigualdad doble. Como cinco es positivo, −5 ≤ 2x − 3 ≤ 5.

Paso 2. Despeja las dos condiciones. Sumando tres, −2 ≤ 2x ≤ 8. Dividiendo entre dos, −1 ≤ x ≤ 4.

Paso 3. Extremos. Se incluyen −1 y 4 porque el enunciado permite igualdad. En ambos extremos el módulo vale cinco.

La solución también puede leerse como |x − 1,5| ≤ 2,5: distancia máxima 2,5 al punto 1,5. No debe confundirse el centro con un extremo.

Ahora resuelve |x + 1| > 3. Estar a distancia mayor que tres del punto −1 exige x < −4 o x > 2. La solución es (−∞, −4) ∪ (2, ∞).

Escribir −4 < x < 2 resolvería la desigualdad contraria, de puntos interiores. Prueba x = −1: su distancia es cero, así que no puede pertenecer a una solución que exige más de tres.

Ejercicio 2: el lado derecho depende de x

Resuelve |x − 2| ≤ x.

Paso 1. Condición necesaria. El lado izquierdo es no negativo. Para que sea menor o igual que x, debe cumplirse x ≥ 0. Cualquier número negativo queda descartado antes de operar.

Paso 2. Desigualdad doble bajo esa condición. −x ≤ x − 2 ≤ x.

La condición izquierda da −x ≤ x − 2, es decir, 2 ≤ 2x y x ≥ 1. La derecha se reduce a −2 ≤ 0, que siempre es cierta.

Paso 3. Intersección. x ≥ 1 ya cumple x ≥ 0. La solución final es [1, ∞).

Comprueba x = 1: |−1| ≤ 1, igualdad válida. Comprueba x = 3: 1 ≤ 3, también válido. Para x = 0, el resultado sería 2 ≤ 0, falso.

Podríamos elevar al cuadrado después de imponer x ≥ 0: (x − 2)² ≤ x² produce −4x + 4 ≤ 0 y x ≥ 1. Sin comprobar los signos, elevar al cuadrado no es una receta general: por ejemplo, una comparación con un lado negativo puede cambiar de significado.

Ejercicio 3: un cociente exige conservar el dominio

Resuelve |(x − 1)/(x + 2)| < 1.

Paso 1. Dominio. x ≠ −2. La expresión original no está definida en ese punto, aunque una transformación posterior parezca admitirlo.

Paso 2. Cuadrados no negativos. Ambos lados de la comparación del módulo con uno son no negativos. Por tanto, podemos escribir (x − 1)²/(x + 2)² < 1.

Paso 3. Multiplica por una cantidad positiva. Para todo x del dominio, (x + 2)² > 0, por lo que el sentido de la desigualdad no cambia: (x − 1)² < (x + 2)².

Paso 4. Desarrolla. x² − 2x + 1 < x² + 4x + 4. Cancelando x²: −3 < 6x, luego x > −1/2.

El punto excluido −2 ya queda fuera de ese intervalo, así que no necesitamos añadir otro corte a la solución final. En x = −1/2, el cociente vale −1 y su módulo uno; queda excluido por la desigualdad estricta.

Si multiplicaras directamente por x + 2 sin estudiar su signo, tendrías que separar casos. Utilizar su cuadrado positivo evita ese cambio, pero no elimina la obligación de declarar el dominio original.

Ejercicio 4: sumar dos distancias

Resuelve |x − 1| + |x + 2| ≤ 5. Los ceros −2 y 1 separan tres tramos.

Para x < −2, la suma es 1 − x − x − 2 = −2x − 1. La desigualdad exige x ≥ −3. Al intersectar con el tramo obtenemos [−3, −2).

Para −2 ≤ x ≤ 1, la suma es 1 − x + x + 2 = 3. Todo el tramo cumple 3 ≤ 5.

Para x > 1, la suma es x − 1 + x + 2 = 2x + 1. Exigimos x ≤ 2 y obtenemos (1, 2].

La unión de los tres resultados es [−3, 2]. Los puntos −2 y 1 no son necesariamente los extremos de solución: son puntos donde cambia la expresión algebraica. Los extremos reales −3 y 2 aparecen al resolver el límite de cinco.

La guía de límites y derivadas utiliza condiciones y tramos en análisis. Aquí consolidamos la habilidad algebraica que permite escribirlos correctamente antes de derivar o calcular límites.

Preguntas frecuentes

¿Puedo quitar las barras cambiando siempre por ±?

No. Debes distinguir ecuación e inecuación y comprobar el signo del término con el que comparas. Las soluciones dependen además de si se exige menor o mayor distancia.

¿Elevar al cuadrado conserva siempre una inecuación?

No. Es una equivalencia al comparar cantidades no negativas, pero puede introducir errores si se ignoran signos o restricciones de dominio. Debes justificarlo en cada caso.

¿La solución de dos valores absolutos siempre es un intervalo entre sus ceros?

No. Los ceros separan tramos para estudiar las expresiones, pero los extremos de la solución dependen de la desigualdad completa. Hay que resolver y comprobar cada tramo.

Contrasta un punto interior y otro exterior

Después de obtener un intervalo, sustituye un valor que debería entrar y otro que debería quedar fuera. Conserva también los extremos y el dominio. Guarda esa comprobación en la libreta de errores y consulta la ficha de Matemáticas II de Galicia, disponible para comprar, para continuar con razonamiento algebraico y funciones.