Función acumulación: deriva integrales con límite variable

Una integral con límites numéricos da un número. Si uno de sus límites es x, el resultado depende de x: has definido una función. Esa diferencia permite estudiar crecimiento y extremos sin encontrar necesariamente una primitiva explícita.

La función acumulación conserva el signo del integrando. No representa siempre un área geométrica positiva. Su derivada indica cómo cambia el balance cuando desplazas el límite superior. Vamos a separar esas ideas con tres ejercicios y una comprobación de la regla de la cadena.

El teorema que conecta integral y derivada

Si f es continua en un intervalo y defines F(x) = ∫ desde a hasta x de f(t) dt, el teorema fundamental del cálculo permite escribir F′(x) = f(x) en su interior. El símbolo t es una variable de integración; x es la variable de la función resultante.

Además F(a) = 0, porque los límites coinciden. No añadas una constante arbitraria a esta función ya definida: su valor inicial está fijado por la integral. Las primitivas de f difieren en constantes, pero F es una concreta.

Si el límite superior es g(x), la cadena da:

d/dx [∫ desde a hasta g(x) de f(t) dt] = f(g(x)) g′(x),

en los puntos donde se cumplen la continuidad y derivabilidad necesarias. La derivada del límite no desaparece.

Ejercicio 1: extremos sin integrar primero

Sea F(x) = ∫ desde 0 hasta x de (t² − 4t + 3) dt, con x en [0,4]. Estudia sus extremos y después comprueba los valores mediante una primitiva.

Paso 1. Deriva la acumulación. F′(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).

Paso 2. Tabla de signos. F′ es positiva en (0,1), negativa en (1,3) y positiva en (3,4). Por tanto F crece, decrece y vuelve a crecer, respectivamente.

Paso 3. Extremos interiores. En x = 1 cambia de creciente a decreciente: máximo relativo. En x = 3 cambia de decreciente a creciente: mínimo relativo. No confundas estos puntos con los extremos del integrando, cuya derivada es 2x − 4.

Paso 4. Calcula F. Una primitiva es t³/3 − 2t² + 3t. Al restar su valor en cero queda F(x) = x³/3 − 2x² + 3x.

Paso 5. Evalúa candidatos y extremos del intervalo. F(0) = 0; F(1) = 4/3; F(3) = 0; F(4) = 4/3. En [0,4], el máximo absoluto 4/3 se alcanza tanto en x = 1 como en x = 4. El mínimo absoluto cero se alcanza en x = 0 y x = 3.

El máximo relativo interior no tiene por qué ser el único punto que alcanza el máximo absoluto. Por eso un estudio en intervalo cerrado necesita revisar también los extremos del intervalo.

Ejercicio 2: límite superior x²

Define G(x) = ∫ desde 1 hasta x² de (1 + t²) dt para todo x real. Determina crecimiento y mínimo.

Paso 1. Identifica las piezas. El integrando es f(t) = 1 + t² y el límite superior g(x) = x².

Paso 2. Aplica cadena. G′(x) = [1 + (x²)²] × 2x = 2x(1 + x⁴). Escribir 1 + x⁴ sin el factor 2x omitiría el cambio de velocidad del límite superior.

Paso 3. Signo. Como 1 + x⁴ es siempre positivo, G′ tiene el signo de x. G decrece en (−∞,0) y crece en (0,+∞), así que tiene un mínimo absoluto en cero.

Paso 4. Valor. G(0) = ∫ desde 1 hasta 0 de (1 + t²) dt = −∫ desde 0 hasta 1 de (1 + t²) dt = −4/3.

El resultado negativo es coherente: en x = 0 los límites están invertidos. El integrando es positivo, pero la orientación de la integral cambia el signo. G no está definida como un área geométrica sin signo.

Como control adicional, G(1) = G(−1) = 0 porque en ambos casos el límite superior es uno. La función es par, algo que también se ve al depender su definición de x².

Ejercicio 3: los dos límites se mueven

Sea H(x) = ∫ desde x hasta 2x de t² dt. Calcula H′ de dos formas.

Paso 1. Separa respecto a un límite fijo. H(x) = ∫ desde 0 hasta 2x de t² dt − ∫ desde 0 hasta x de t² dt.

Paso 2. Deriva cada parte. La primera aporta (2x)² × 2 = 8x²; la segunda aporta x². Así H′(x) = 7x².

Paso 3. Verifica integrando. H(x) = [(2x)³ − x³]/3 = 7x³/3. Su derivada es 7x², como antes.

Paso 4. Revisa el signo de la propia función. H′ es no negativa, por lo que H es creciente; sin embargo H(x) es negativa para x < 0. «Crece» no significa «es positiva»: son preguntas diferentes.

Esta forma de separar las integrales permite recordar el signo del límite inferior: su contribución se resta. La regla general es f(b(x)) b′(x) − f(a(x)) a′(x), bajo las hipótesis indicadas.

Cuando no conoces una primitiva elemental

Si J(x) = ∫ desde 0 hasta x de e^(−t²) dt, puedes afirmar J′(x) = e^(−x²) > 0 aunque no dispongas de una primitiva elemental. J es estrictamente creciente. No necesitas inventar una fórmula de integración para estudiar su monotonía.

La continuidad del integrando es una hipótesis útil y suficiente para las aplicaciones anteriores. Si aparece una discontinuidad o un integrando con dominio restringido, comprueba primero que la integral y la derivación tienen sentido en el intervalo considerado. El teorema no autoriza a saltarse un punto donde la expresión no está definida.

Distingue tres preguntas

El valor F(x) es un balance acumulado; el valor f(x) es su tasa de cambio; el valor f′(x), cuando existe, es F″(x) y ayuda a estudiar su curvatura. Mantener separadas esas tres funciones evita buscar un extremo de F en el vértice de f o interpretar un balance negativo como una pendiente negativa.

Antes de resolver, escribe el límite inferior, el superior y la variable que realmente cambia. Ese esquema breve suele aclarar más que empezar integrando de memoria.

Fuentes y práctica complementaria

La fuente de referencia permite contrastar las relaciones y condiciones utilizadas. Los datos, ejercicios y soluciones de esta página son originales. Para relacionar esta práctica con el bloque, vuelve a la guía general, que aborda otras preguntas del tema.

En la libreta de errores puedes registrar el dato interpretado mal, tu primera respuesta y la corrección razonada. Es un recurso de organización del repaso; no contiene una batería adicional de estos ejercicios.

Preguntas frecuentes

¿Una integral con límite superior x es un número fijo?

No. Define una función de x. Si el integrando es continuo, su derivada es el integrando evaluado en x.

¿Qué cambia si el límite superior es x²?

Debes aplicar la regla de la cadena: evalúas el integrando en x² y multiplicas por 2x.

¿La función acumulación debe ser siempre positiva?

No. La integral conserva la orientación de los límites y el signo del integrando. No es necesariamente un área geométrica positiva.

Lee el integrando como la pendiente de la acumulación

Sustituye el límite superior x² del segundo ejercicio por x³ y escribe la derivada mediante la cadena antes de estudiar su signo. Después contrasta tu razonamiento con las condiciones del enunciado, además de revisar el resultado. Si buscas preparación por comunidad, consulta el curso de Matemáticas II: su ficha muestra la disponibilidad, el precio y las condiciones antes de comprar.