Fotoelèctric: tensió de frenada i llindar en exercicis

La tensió de frenada mesura una energia màxima

En l’efecte fotoelèctric, augmentar la freqüència de la llum pot augmentar l’energia cinètica màxima dels electrons emesos. Augmentar la intensitat a freqüència fixa no és la mateixa operació. La tensió de frenada permet separar aquestes dues idees perquè està relacionada amb l’energia màxima, no simplement amb el nombre d’electrons.

Aquesta pràctica resol tres situacions originals amb una superfície hipotètica. Utilitzem el model d’Einstein d’un fotó que interacciona amb un electró, sense processos multifotònics ni canvis de la superfície. No presentem les dades com a mesures d’un metall real.

Una convenció que evita confondre signes

Anomenem W el treball d’extracció, f la freqüència incident i Kmax l’energia cinètica màxima. Si l’energia del fotó és suficient:

Kmax = hf − W.

Definim Vs com el mòdul positiu de la tensió de frenada. Aleshores:

eVs = Kmax.

El potencial aplicat al col·lector pot tenir signe negatiu respecte de l’emissor en una convenció de circuit, però Vs representa aquí el seu mòdul. No obtindrem una energia negativa només per aquest signe instrumental.

Prenem h=4,136·10⁻¹⁵ eV·s i c=3,00·10⁸ m/s. Utilitzar h en aquestes unitats dona directament energies en electronvolts. Numèricament, una energia màxima d’1 eV correspon a una tensió de frenada d’1 V per a un electró.

El capítol d’OpenStax sobre l’efecte fotoelèctric explica aquesta relació. Per repassar el context abans dels càlculs, consulta el pilar de l’efecte fotoelèctric. Aquí ens centrem en frenada, llindar i interpretació de dades.

Exercici 1: calcular energia i tensió de frenada

La superfície hipotètica té W=2,20 eV. Rep llum de freqüència f=8,00·10¹⁴ Hz. Calcula l’energia del fotó, Kmax i Vs.

Primer:

hf = (4,136·10⁻¹⁵)(8,00·10¹⁴) = 3,3088 eV.

Com que 3,3088 és superior a 2,20, l’emissió és energèticament possible en el model. L’energia màxima és:

Kmax = 3,3088−2,20 = 1,1088 eV.

Per tant:

Vs ≈ 1,11 V.

No hem dividit 1,1088 entre la càrrega de l’electró expressada en culombs perquè l’energia ja està en eV. Si la convertíssim primer a joules, aleshores sí que hauríem de dividir per e en culombs. Barrejar les dues vies provocaria un factor de conversió incorrecte.

La tensió de frenada correspon als electrons més energètics. No afirma que tots els fotoelectrons surtin amb aquesta mateixa energia. La distribució pot incloure energies menors; la frenada completa ha d’impedir que arribin també els de Kmax.

Comprovació: l’energia cinètica màxima és menor que la del fotó, perquè una part s’utilitza en l’extracció. Un resultat superior a 3,3088 eV seria incompatible amb aquest balanç.

Exercici 2: trobar el llindar i rebutjar una energia negativa

La freqüència llindar f₀ satisfà hf₀=W. Per a la mateixa superfície:

f₀ = 2,20/(4,136·10⁻¹⁵) ≈ 5,32·10¹⁴ Hz.

La longitud d’ona llindar és:

λ₀ = c/f₀ ≈ 5,64·10⁻⁷ m = 564 nm.

En aquest model, les longituds d’ona inferiors al llindar corresponen a fotons més energètics. Les superiors aporten menys energia per fotó.

Ara il·luminem la superfície amb λ=700 nm. Convertim primer:

700 nm = 7,00·10⁻⁷ m.

L’energia del fotó és:

hc/λ = (4,136·10⁻¹⁵)(3,00·10⁸)/(7,00·10⁻⁷) ≈ 1,77 eV.

Com que 1,77 eV < 2,20 eV, no hi ha emissió fotoelèctrica en el model d’un fotó. La resta hf−W seria negativa, però no la presentem com una energia cinètica física ni com una tensió de frenada negativa: indica que la fórmula d’emissió no té un procés accessible amb aquests fotons.

Augmentar la intensitat sense canviar λ no supera aquest llindar dins del model indicat. Cal aportar més energia per fotó, no només més fotons de la mateixa energia.

Exercici 3: deduir el pendent i el treball d’extracció

Una sèrie ideal, coherent amb les constants utilitzades, proporciona aquestes dades sobre la mateixa superfície:

f / Hz	Vs / V
6,00·10¹⁴	0,2816
8,00·10¹⁴	1,1088

La relació lineal és Vs=(h/e)f−W/e quan les energies s’expressen en joules. El pendent s’obté restant les dues mesures:

pendent = (1,1088−0,2816)/(8,00·10¹⁴−6,00·10¹⁴).

pendent = 0,8272/(2,00·10¹⁴) = 4,136·10⁻¹⁵ V·s.

En la via numèrica amb energies en eV, aquest valor correspon al de h en eV·s. Per trobar el treball d’extracció:

W/e = pendent·f−Vs.

Amb la primera fila:

W/e = (4,136·10⁻¹⁵)(6,00·10¹⁴)−0,2816 = 2,20 V.

Per tant, W=2,20 eV. La segona fila dona el mateix resultat i comprova la coherència de les dades.

La intersecció amb l’eix vertical és −W/e, no +W/e. La intersecció amb l’eix de freqüències proporciona f₀. Són dos punts diferents de la recta amb unitats i interpretacions diferents.

Aquesta recta és una extrapolació matemàtica quan entra a la zona de Vs negativa. No descriu fotoelectrons d’energia màxima negativa: per sota del llindar no hi ha emissió en el model estudiat.

Què passa si canviem només la intensitat?

A una freqüència superior al llindar i mantenint les altres condicions, més intensitat pot aportar més fotons per unitat de temps i augmentar el corrent fotoelèctric disponible. No modifica hf i, per tant, no augmenta Kmax en aquest model.

No podem calcular un corrent només amb W i f. Necessitaríem informació sobre el flux de fotons, l’eficiència d’emissió i la recollida dels electrons, entre altres condicions. La tensió de frenada i el corrent responen a preguntes diferents.

A la llibreta d’errors, anota una via d’unitats completa: joules i culombs, o energies en eV amb la correspondència numèrica per a l’electró. No passis d’una via a l’altra a mitja operació.

Preguntes freqüents

Una resta hf menys W negativa és una energia cinètica vàlida?

No. Indica que els fotons no superen el treball d’extracció i no hi ha emissió en el model d’un fotó utilitzat.

Més intensitat augmenta la tensió de frenada?

No a freqüència fixa i amb les condicions del model mantingudes. Pot augmentar el corrent, però no l’energia màxima per electró.

El pendent de Vs respecte de f és el treball d’extracció?

No. És h/e en unitats SI. El treball d’extracció es relaciona amb l’ordenada a l’origen i amb la freqüència llindar.

Comprova el llindar abans de calcular la frenada

Resol primer si hi pot haver emissió i conserva una única via d’unitats. Després interpreta què mesura la tensió i què no permet calcular. Per continuar amb física quàntica i exercicis resolts, consulta el curs de Física per a Catalunya i revisa els continguts i les opcions de compra.