Doppler sonor: font mòbil i freqüència en exercicis

La font i l’observador no intervenen igual en el Doppler sonor

Una font que s’acosta emet fronts d’ona més pròxims en la direcció del moviment. Un observador que s’acosta a una font quieta travessa més fronts per segon. Totes dues situacions augmenten la freqüència percebuda, però no tenen exactament la mateixa expressió matemàtica.

Aquesta pràctica resol tres problemes originals de so en una dimensió. Treballarem amb aire en repòs, velocitat del so constant i moviments rectilinis al llarg de la línia que uneix font i observador. No apliquem aquestes fórmules acústiques a la llum.

Fixar el medi i la direcció abans dels signes

Anomenem c la velocitat del so respecte de l’aire, fₛ la freqüència emesa i u la rapidesa de la font respecte de l’aire. En els tres primers exercicis, l’observador està en repòs respecte del medi i la font es mou a velocitat constant, amb u<c.

Si la font s’acosta:

fₒ = fₛ·c/(c−u).

Si s’allunya:

fₒ = fₛ·c/(c+u).

Aquí u és una rapidesa positiva; escollim expressament el signe segons l’escena. No introduïm després un altre signe negatiu a u, perquè comptaríem dues vegades el canvi de direcció.

El capítol sobre l’efecte Doppler d’OpenStax explica la separació entre font mòbil i observador mòbil. Els nombres i les preguntes següents són propis. Per revisar el bloc general, consulta Física per a la PAU a Catalunya.

Exercici 1: una font s’acosta a un observador quiet

Una font emet un to de 600 Hz i avança directament cap a un observador amb u=34,0 m/s. La velocitat del so és c=340 m/s. Calcula la freqüència percebuda.

L’apropament redueix la separació entre fronts davant de la font. Utilitzem el denominador c−u:

fₒ = 600·340/(340−34).

fₒ = 204.000/306 = 666,7 Hz, aproximadament.

La resposta supera 600 Hz, com esperàvem. Si haguéssim obtingut un valor inferior, hauríem de revisar la direcció abans de revisar les divisions.

També podem reconstruir el resultat amb la longitud d’ona. El període d’emissió és Tₛ=1/600 s. Durant aquest interval, un front avança cTₛ i la font avança uTₛ. La separació davant de la font és:

λdavant = (c−u)/fₛ = 306/600 = 0,510 m.

L’observador rep fronts que es propaguen a c i, per tant, fₒ=c/λdavant=340/0,510=666,7 Hz. Aquesta comprovació explica el denominador i evita memoritzar-lo sense una escena física.

La velocitat de propagació en el medi no és 306 m/s. Aquest nombre apareix en la separació entre fronts creats successivament; cada front continua avançant a 340 m/s respecte de l’aire dins del model.

Exercici 2: la mateixa font s’allunya

Mantenim freqüència emesa, medi i rapidesa, però la font ara s’allunya directament de l’observador. Calcular la freqüència abans de substituir ajuda a escollir el signe: ha de ser menor que 600 Hz.

fₒ = 600·340/(340+34).

fₒ = 204.000/374 = 545,5 Hz, aproximadament.

La longitud d’ona darrere de la font és:

λdarrere = (c+u)/fₛ = 374/600 = 0,6233 m.

Com que aquesta separació és superior a la que tindria una font quieta, arriben menys fronts per segon.

Els desplaçaments respecte de 600 Hz no són simètrics: l’augment de l’exercici anterior és aproximadament 66,7 Hz i la disminució d’aquest és aproximadament 54,5 Hz. Fer la mitjana dels dos valors percebuts no recupera exactament la freqüència emesa.

Podem comparar-los mitjançant el quocient:

facostament/fallunyament = (c+u)/(c−u) = 374/306 = 11/9.

La freqüència emesa es cancel·la perquè hem comparat la mateixa font en el mateix medi. La relació seria una altra si canviessin aquestes condicions.

Exercici 3: deduir la rapidesa de la font

Un observador quiet rep 750 Hz d’una font que emet 600 Hz i s’acosta directament. Pren c=340 m/s. Determina la rapidesa de la font.

Comencem amb la mateixa equació:

750 = 600·340/(340−u).

Multipliquem pel denominador:

750(340−u) = 204.000.

340−u = 272.

u = 68,0 m/s.

El resultat és menor que c i, per tant, compatible amb la condició subsònica del model. Substituint, 600·340/272=750 Hz. Aquesta comprovació és especialment útil perquè un error de signe podria donar una rapidesa negativa i confondre la interpretació.

Si la font es mogués a aquesta mateixa rapidesa allunyant-se, la freqüència seria 600·340/408=500 Hz. Un segon càlcul amb una escena diferent comprova que no estem reutilitzant el mateix denominador automàticament.

La freqüència percebuda per si sola no determina sempre una velocitat: també necessitem conèixer la freqüència emesa, la velocitat del so i quins elements es mouen respecte del medi.

Si qui es mou és l’observador

Considerem ara una font quieta de 600 Hz i un observador que s’hi acosta a 34,0 m/s. Els fronts estan separats per λ=c/fₛ. L’observador els travessa amb rapidesa relativa c+34,0:

fₒ = fₛ(c+34,0)/c = 600·374/340 = 660 Hz.

Aquest resultat és diferent dels 666,7 Hz de la font mòbil del primer exercici. Per al so, intercanviar font i observador mantenint la mateixa rapidesa no conserva exactament el desplaçament.

El medi proporciona una referència física. Per això no basta dir que la distància entre tots dos disminueix a una certa rapidesa: cal identificar el moviment de cadascun respecte de l’aire.

Tres comprovacions abans d’acceptar una resposta

Amb u=0, les dues fórmules de font mòbil han de donar fₒ=fₛ. Amb acostament subsònic, el denominador és menor que c i la freqüència augmenta. Amb allunyament, el denominador és més gran i disminueix.

Si el moviment no és col·linear, no podem substituir qualsevol rapidesa total sense adaptar el model. Tampoc aquestes expressions descriuen directament el cas supersònic, en què apareixen altres característiques del front d’ona.

A la llibreta d’errors, dibuixa una fletxa per a cada cos i indica si està quiet respecte del medi. Escriu després si esperes un so més agut o més greu.

Preguntes freqüents

La velocitat del so canvia perquè la font es mogui?

No en el model d’aire en repòs utilitzat. Canvia la separació entre fronts emesos successivament, no la velocitat de propagació de cada front respecte del medi.

Font mòbil i observador mòbil donen exactament el mateix resultat?

No en general per al Doppler sonor. Els moviments apareixen en llocs diferents de les expressions i la referència del medi importa.

Puc aplicar aquestes fórmules directament a la llum?

No. Les expressions d’aquesta pràctica són acústiques i depenen d’un medi material. El Doppler de la llum requereix un altre model.

Dibuixa el moviment abans de triar el denominador

Refés els tres exercicis amb una rapidesa de 17,0 m/s quan sigui una dada i compara les dues direccions. La comprovació central és connectar signe, separació dels fronts i freqüència. Per continuar amb ones i problemes de Física, consulta el curs de Física per a Catalunya i revisa els continguts i les opcions de compra.