De Broglie: electró accelerat i exercicis resolts PAU

La longitud d’ona d’un electró no es calcula com si fos llum

La relació de de Broglie associa una longitud d’ona a una partícula mitjançant el seu moment lineal: λ = h/p. Per aplicar-la a un electró accelerat, primer cal obtenir la seva energia cinètica i comprovar si podem utilitzar el model no relativista.

Treballarem amb un supòsit original i constants proporcionades. La referència acadèmica és el capítol d’OpenStax sobre les ones de matèria. Aquesta pràctica no fixa un format oficial de PAU ni atribueix el problema a cap convocatòria.

L’objectiu és evitar dues confusions: tractar el volt com una unitat d’energia i aplicar a una partícula amb massa una relació cinemàtica pròpia d’un fotó en el buit.

Dades i condicions del model

Un electró parteix del repòs i adquireix energia cinètica en travessar una diferència de potencial acceleradora de mòdul U = 150 V. Negligim les pèrdues d’energia i qualsevol interacció addicional.

Utilitza e = 1,602 × 10⁻¹⁹ C, m = 9,109 × 10⁻³¹ kg, h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s i c = 3,00 × 10⁸ m/s. El símbol e representa el mòdul positiu de la càrrega de l’electró; la seva càrrega física és negativa.

En el supòsit, el guany d’energia cinètica és K = eU. L’ús del mòdul evita un resultat negatiu perquè ja hem indicat que el camp accelera la partícula. Si el problema demanés el sentit del moviment, caldria considerar el signe de la càrrega i l’orientació del camp.

Primer exercici: energia i velocitat

L’energia adquirida és K = 1,602 × 10⁻¹⁹ × 150 = 2,403 × 10⁻¹⁷ J. També es pot expressar com a 150 eV, perquè un electronvolt és l’energia corresponent a e multiplicat per un volt.

No són 150 joules. Confondre eV i J introduiria un error enorme i produiria una velocitat incompatible amb el model. Conservar les unitats en la multiplicació ajuda a detectar-lo: C·V equival a J.

En el model no relativista, K = mv²/2. Per tant, v = √(2K/m), que dona aproximadament 7,26 × 10⁶ m/s. El quocient v/c és aproximadament 0,0242: un 2,42 % de la velocitat de la llum.

Aquest valor petit justifica l’aproximació no relativista per a la precisió orientativa del problema. No establim un llindar universal de correcció d’examen. Si el supòsit exigís precisió relativista, hauríem d’emprar l’expressió corresponent.

Segon exercici: moment i longitud d’ona

Amb el model adoptat, p = mv. Obtenim aproximadament p = 6,62 × 10⁻²⁴ kg·m/s. La longitud d’ona associada és λ = h/p, aproximadament 1,00 × 10⁻¹⁰ m, o 0,100 nm.

Una manera equivalent de resoldre-ho és combinar energia i moment: p = √(2mK) = √(2meU). Així, λ = h/√(2meU). Aquesta expressió és útil, però deriva de les condicions que hem indicat; no s’ha d’aplicar automàticament a qualsevol energia.

Comprova la unitat: J·s equival a kg·m²/s. Dividint entre kg·m/s queda un metre. Si la resposta queda en segons o en metres al quadrat, hi ha un error en la fórmula o en les unitats.

La longitud d’ona associada no és el diàmetre de l’electró ni una mida que puguem atribuir-li amb aquest càlcul. És una magnitud vinculada al seu comportament ondulatori i al moment lineal.

Tercer exercici: quadruplicar el potencial

Repeteix la comparació per a U = 600 V sense refer totes les operacions. La diferència de potencial s’ha multiplicat per quatre i, amb els mateixos supòsits, K també es multiplica per quatre.

La velocitat i el moment es multipliquen per √4 = 2. La longitud d’ona es divideix entre dos. Així, v és aproximadament 1,45 × 10⁷ m/s i λ aproximadament 5,00 × 10⁻¹¹ m.

El nou quocient v/c és aproximadament 0,0484. Continua sent petit en aquesta comparació, però la comprovació del model no s’ha d’ometre quan augmenta l’energia. A potencials molt més grans, les relacions no relativistes deixarien de proporcionar la precisió adequada.

Si algú afirma que quadruplicar U divideix λ entre quatre, ha tractat erròniament l’arrel quadrada com una dependència lineal. Escriu la proporcionalitat λ ∝ 1/√U per corregir el raonament.

Per què no fem servir K igual a pc

Per a un fotó en el buit, l’energia i el moment es relacionen com E = pc. L’electró té massa en repòs; la seva energia cinètica no compleix aquesta expressió. En el règim no relativista que hem utilitzat, K = p²/(2m).

Tampoc hem de calcular una suposada freqüència com c/λ i interpretar-la directament com si fos una ona lluminosa que viatja al costat de l’electró. Les ones de matèria requereixen distingir el comportament ondulatori de la partícula de les relacions pròpies de la radiació electromagnètica.

Aquesta distinció és més útil que memoritzar fórmules separades sense preguntar a quin objecte s’apliquen. El nom de la magnitud i les condicions del model han d’acompanyar sempre l’equació.

Autocorrecció dels ordres de magnitud

Repassa la conversió d’eV a J, el càlcul de l’arrel i la conversió de metres a nanòmetres. Confondre 10⁻¹⁰ m amb 10⁻¹⁰ nm introdueix nou ordres de magnitud.

Connecta la pràctica amb la preparació de Física a Catalunya. A la llibreta d’errors separa error de conversió, de model i de proporcionalitat.

Preguntes freqüents

Cent cinquanta electronvolts són cent cinquanta joules?

No. Un electronvolt equival a 1,602 × 10⁻¹⁹ J amb la constant proporcionada. Aquí 150 eV són 2,403 × 10⁻¹⁷ J.

Quadruplicar el potencial divideix la longitud d’ona entre quatre?

No en el model no relativista del supòsit. La longitud d’ona depèn de l’invers de l’arrel del potencial i es divideix entre dos.

La longitud d’ona és el diàmetre de l’electró?

No. És la longitud d’ona associada al moment lineal mitjançant la relació de de Broglie, no una mida geomètrica de la partícula.

Continua amb la física quàntica

Reconstrueix la cadena potencial, energia, moment i longitud d’ona abans d’utilitzar una fórmula abreujada. El curs de Física per a Catalunya està disponible per comprar; consulta els continguts i les condicions a la fitxa.