Difracció d'una escletxa: amplada central i mínims PAU

El màxim central és més ample que una separació entre mínims

Una escletxa única il·luminada pot produir un patró de difracció amb una zona central intensa i mínims als costats. Per calcular-ne l’amplada, cal distingir la distància des del centre fins al primer mínim de la distància entre els dos primers mínims simètrics.

En aquesta pràctica original utilitzarem un model de difracció de Fraunhofer amb llum monocromàtica i una escletxa de vora ideal. La referència acadèmica és el capítol d’OpenStax sobre difracció per una escletxa única. No és un exercici oficial ni una predicció de convocatòria.

El problema es concentra en els mínims del patró. No traslladarem automàticament les equacions dels màxims d’interferència de dues escletxes a aquest sistema.

Dades i condició dels mínims

L’escletxa té amplada a = 0,20 mm i rep llum de longitud d’ona λ = 500 nm. Una pantalla es troba a L = 2,00 m. El supòsit indica que el règim de Fraunhofer és adequat i que els primers angles permeten una aproximació d’angle petit.

La condició dels mínims és a·sin θ = mλ, amb m = ±1, ±2 i altres enters no nuls. El valor m = 0 correspon al centre i no és un mínim de difracció.

Per a angles petits, y ≈ L sin θ ≈ mλL/a, on y és la coordenada sobre la pantalla mesurada des del centre. Si es necessita la geometria exacta de la pantalla, y = L tan θ.

Abans de substituir, convertim a metres: a = 2,0 × 10⁻⁴ m i λ = 5,0 × 10⁻⁷ m. Confondre mil·límetres i nanòmetres pot generar un resultat formalment calculable i físicament incompatible.

Primer exercici: distància fins al primer mínim

Per m = 1, sin θ₁ = λ/a = 0,0025. L’angle és petit, coherent amb l’aproximació del problema.

La distància aproximada del centre al primer mínim és y₁ ≈ λL/a = 0,0050 m = 5,0 mm. A l’altre costat apareix el mínim simètric amb coordenada −5,0 mm.

Si la pregunta només demana la distància al primer mínim, la resposta és 5,0 mm i no 10,0 mm. Una distància és no negativa; una coordenada inclou el signe segons el costat escollit.

La comprovació angular dona θ₁ ≈ 0,0025 radians. No cal expressar-lo en graus per trobar y amb les fórmules indicades. Barrejar radians i graus en una aproximació trigonomètrica sense revisar la calculadora pot introduir un error addicional.

Segon exercici: amplada del màxim central

La zona central està compresa entre els mínims m = −1 i m = +1. La seva amplada és aproximadament 2y₁ = 10,0 mm.

Un alumne respon 5,0 mm perquè ha utilitzat y₁. Ha calculat correctament una meitat de l’amplada, però ha interpretat malament què es demanava. El dibuix dels dos límits permet detectar aquesta diferència sense repetir l’aritmètica.

La distància aproximada entre els mínims positius m = 1 i m = 2 és 5,0 mm. Per tant, el màxim central té el doble d’aquesta separació en el règim d’angle petit. No hem afirmat que totes les zones brillants tinguin la mateixa intensitat o la mateixa amplada exacta a qualsevol angle.

El patró depèn de la geometria i de la distribució de llum. La condició dels mínims no proporciona per si sola una fórmula completa d’intensitat, i no permet assignar la mateixa brillantor a tots els màxims laterals.

Tercer exercici: deduir l’amplada de l’escletxa

En una segona situació hipotètica, mantenim λ = 500 nm i L = 2,00 m, però mesurem un màxim central de 20,0 mm. Troba a amb l’aproximació indicada.

L’amplada central és W ≈ 2λL/a. Despejant, a ≈ 2λL/W. Amb W = 0,0200 m obtenim a = 1,0 × 10⁻⁴ m = 0,10 mm.

L’escletxa és la meitat d’ampla i el màxim central és el doble d’ample. La relació és inversa: reduir a augmenta l’extensió angular del patró central.

No hem duplicat la longitud d’ona ni mogut la pantalla. El raonament proporcional només funciona si indiquem quines magnituds es mantenen constants. Una frase com «més petit dona més gran» no identifica el sistema ni la magnitud comparada.

Quart exercici: comprovar un ordre impossible

Tornem a a = 0,20 mm i λ = 500 nm. Podria existir un mínim amb m = 500?

La condició exigiria sin θ = 500 × 5,0 × 10⁻⁷/(2,0 × 10⁻⁴) = 1,25. Cap angle real té aquest sinus, de manera que aquest mínim no existeix en el model.

Aplicar directament y ≈ mλL/a produiria un nombre, però estaria fora de les condicions geomètriques i de l’aproximació d’angle petit. Una fórmula no valida automàticament els seus propis supòsits.

Aquest apartat mostra per què la comprovació |mλ/a| ≤ 1 precedeix qualsevol estimació de posició. Per als ordres que sí són possibles, encara cal valorar si l’angle és prou petit per a la precisió requerida.

Autocorrecció del patró

Dibuixa el centre, els primers mínims i l’amplada que estàs calculant. Escriu després les longituds en metres i identifica si el resultat és una coordenada, una distància o una amplada.

Relaciona el patró amb la preparació de Física a Catalunya. A la llibreta d’errors, separa l’error de factor dos del d’unitats i del d’ordre impossible.

Preguntes freqüents

El valor m igual a zero és un mínim de difracció?

No. Correspon al centre del patró. La condició dels mínims s’aplica als enters no nuls.

L’amplada central és la distància fins al primer mínim?

No. És la distància entre els primers mínims simètrics, aproximadament el doble de la distància del centre a un d’ells.

Estrènyer l’escletxa fa més estret el màxim central?

No en el model del supòsit. Mantenint longitud d’ona i pantalla, una escletxa més estreta produeix un màxim central més ample.

Continua amb els patrons ondulatoris

Refés el dibuix i justifica el factor dos abans de substituir. El curs de Física per a Catalunya permet continuar amb ones i òptica; consulta els continguts i les condicions a la fitxa.