Efecto Compton: ángulo, longitud de onda y energía

El efecto Compton permite conectar una dirección de dispersión con un cambio en la longitud de onda de un fotón. El cálculo parece breve, pero exige distinguir tres cosas: la longitud incidente, su incremento y la longitud final. Confundirlas puede producir una energía mucho mayor que la disponible inicialmente.

Esta práctica es una ampliación de física del fotón. No presupone que el contenido se exija en todas las comunidades ni lo presenta como un problema oficial. Resolveremos tres casos originales con un modelo preciso: un fotón interacciona con un electrón libre que estaba inicialmente en reposo.

El modelo y las magnitudes que vamos a utilizar

Llamaremos λ a la longitud de onda incidente, λ′ a la dispersada y θ al ángulo entre ambas direcciones del fotón. El electrón sale con energía cinética y cantidad de movimiento.

La conservación de energía y momento, incluyendo el tratamiento relativista del electrón, conduce a:

Δλ = λ′ − λ = λc(1 − cos θ)

Aquí λc = h/(mₑc) es la longitud de onda Compton del electrón. Para nuestros ejercicios utilizaremos λc = 2,426 pm y hc = 1240 eV·nm como datos redondeados.

La energía del fotón es E = hc/λ. Para calcularla con esa segunda constante debemos expresar la longitud en nanómetros: 1 pm = 0,001 nm.

No utilizaremos la fórmula clásica de energía cinética del electrón. Podemos obtener su energía cinética por el balance E incidente menos E dispersada, porque el electrón partía del reposo y en este modelo no aparecen otros productos.

Ejercicio 1: dispersión de noventa grados

Un fotón de longitud de onda 20,00 pm se dispersa un ángulo de 90°. Calcula la longitud final y la energía cinética que recibe el electrón.

Como cos 90° = 0, el incremento es Δλ = 2,426 pm. La longitud final es λ′ = 20,00 + 2,426 = 22,426 pm.

Observa que 2,426 pm no es la longitud final. Es solamente lo que se ha añadido a los 20,00 pm de partida.

Pasamos a nanómetros: λ = 0,02000 nm y λ′ = 0,022426 nm. Con los datos redondeados:

E = 1240/0,02000 = 62000 eV = 62,00 keV.

E′ = 1240/0,022426 ≈ 55293 eV = 55,293 keV.

La energía cinética del electrón es K = E − E′ ≈ 6,707 keV.

Comprueba el sentido físico: el fotón dispersado tiene mayor longitud de onda y menor energía. La energía que pierde aparece como energía cinética del electrón. Si el signo saliera negativo, habría que revisar qué energía hemos restado.

Ejercicio 2: comparar dispersión frontal y retrodispersión

Con el mismo fotón incidente de 20,00 pm, estudia los límites θ = 0° y θ = 180°.

En la dirección frontal, cos 0° = 1. Por tanto, Δλ = 0 y λ′ = 20,00 pm. La fórmula no predice transferencia de energía en ese límite: E′ = E.

En retrodispersión, cos 180° = −1. El incremento es máximo:

Δλmáx = 2λc = 4,852 pm.

La longitud final es 24,852 pm = 0,024852 nm. La energía del fotón saliente resulta E′ = 1240/0,024852 ≈ 49,895 keV.

El electrón recibe K ≈ 62,00 − 49,895 = 12,105 keV.

No recibe toda la energía del fotón: incluso en este caso extremo el fotón saliente conserva energía. Tampoco podemos decir que duplicar el incremento de longitud duplique exactamente la energía transferida. La energía depende del inverso de λ, una relación no lineal.

Los valores de 90° y 180° permiten comprobar un resultado intermedio: para un ángulo comprendido entre ambos, el incremento y la energía cedida deben quedar entre los resultados calculados.

Ejercicio 3: deducir un ángulo a partir del incremento

Se mide un incremento de longitud de onda de 1,213 pm. Determina el ángulo de dispersión bajo el mismo modelo.

Dividimos entre λc:

Δλ/λc = 1,213/2,426 = 0,5.

De 1 − cos θ = 0,5 obtenemos cos θ = 0,5. En el intervalo físico de dispersión de 0° a 180°, θ = 60°.

No hace falta conocer la longitud incidente para este cálculo del ángulo: el incremento depende de θ y de la masa de la partícula dispersora. Para calcular la energía transferida sí necesitaríamos la longitud incidente.

Ahora imagina que se informara un incremento de 6,00 pm para un electrón inicialmente en reposo. El máximo permitido es 4,852 pm. Ese dato no produciría un ángulo real dentro del modelo: no debe forzarse una respuesta introduciendo el número en la calculadora sin comprobar el rango.

Qué se conserva y qué cambia

La energía total del sistema se conserva. Eso no significa que la energía del fotón por separado permanezca constante: comparte el balance con el electrón.

También se conserva el momento total, que es vectorial. Por eso el ángulo importa. El electrón no tiene por qué salir en la misma dirección que el fotón dispersado; su momento compensa la diferencia entre el momento incidente y el saliente del fotón.

La fórmula utilizada presupone un electrón libre y en reposo inicial. En un material real pueden importar el enlace del electrón, su movimiento inicial y otros procesos de interacción. No trasladamos automáticamente los resultados ideales a cualquier experimento con radiación y materia.

Una revisión antes de dar el resultado por terminado

Anota cuatro líneas: ángulo del fotón, incremento en picómetros, longitud final y energías en la misma unidad. Esa separación impide comparar una longitud en picómetros con una constante en eV·nm.

Comprueba además Δλ entre cero y 2λc y E′ no mayor que E. Son controles independientes del redondeo. Un resultado con demasiados decimales puede seguir siendo incorrecto si viola cualquiera de esos límites.

Finalmente, evita confundir este efecto con el fotoeléctrico: aquí analizamos un fotón dispersado y un electrón libre; no hemos utilizado trabajo de extracción de un metal ni frecuencia umbral.

Para conectar el cálculo con el bloque general, consulta el artículo relacionado de Física. En la libreta de errores puedes registrar el supuesto o paso que has corregido; es un recurso de organización del estudio.

Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los enunciados, cifras y desarrollos son originales; no son preguntas oficiales ni acreditan frecuencia de aparición en una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿El desplazamiento Compton es la longitud de onda final?

No. El desplazamiento es Δλ = λ′ − λ. La longitud final se obtiene sumando ese incremento a la longitud incidente.

¿Puede el fotón salir con más energía en este modelo?

Con un electrón libre inicialmente en reposo, la fórmula da λ′ ≥ λ y el fotón no gana energía. Un electrón inicialmente en movimiento exige analizar otro caso.

¿El ángulo de la fórmula corresponde al electrón?

No. θ es el ángulo entre las direcciones del fotón incidente y del fotón dispersado. El ángulo de retroceso del electrón es otra magnitud.

Distingue el desplazamiento de onda de la energía transferida

Comprueba en cada resultado qué pertenece al fotón saliente y qué recibe el electrón. Para situar esta ampliación dentro de tu preparación, consulta Física de Cataluña: la ficha indica contenidos, precio y condiciones de compra. Revisa su programa antes de atribuir este desarrollo a tu examen; no afirmamos que Compton forme parte de todas las PAU.

Consulta la ficha del curso de Física para ver su oferta actual.