Determinantes y rango con parámetro: ejercicios PAU

Los ejercicios de determinantes y rango con parámetro no siempre son sistemas de ecuaciones. A veces solo tienes que justificar cuántas filas o columnas independientes contiene una matriz. La clave está en distinguir una cota superior de una prueba de igualdad.

Vas a practicar tres situaciones originales: un determinante con dos raíces, un determinante que vale cero para todos los valores y una matriz rectangular. No discutiremos ni resolveremos sistemas: para eso tienes la guía de matrices y sistemas con parámetro. Esta página se centra en escoger menores y cerrar cada caso sin calcular más de lo necesario.

Son ejercicios de bachillerato, no modelos oficiales ni predicciones de una convocatoria.

Qué necesitas demostrar para afirmar un rango

El rango no supera el menor de los números de filas y columnas. Un menor de orden r no nulo demuestra rango al menos r. Para concluir rango exactamente r, necesitas además justificar que no puede ser mayor.

En una matriz 3 × 3, det(A) ≠ 0 ya demuestra rango 3. Si det(A) = 0, solo has demostrado rango como máximo 2. Un menor 2 × 2 no nulo completa la prueba de rango 2.

Si buscas rango 1, debes justificar que no es cero y que no hay dos filas o columnas independientes. Mostrar que todas las filas son múltiplos de una fila no nula puede ser más cómodo que calcular cada menor.

Ejercicio 1: dos raíces y un menor que nunca falla

Enunciado propio. Estudia el rango de A según el parámetro real a:

	Columna 1	Columna 2	Columna 3
Fila 1	1	1	0
Fila 2	1	a	1
Fila 3	0	1	a

Paso 1. Calcula el determinante por la primera fila.

det(A) = 1·(a² − 1) − 1·a + 0 = a² − a − 1.

El signo del segundo término es negativo por la posición del elemento. No escribas a² + a − 1: el error cambiaría todos los valores excepcionales.

Paso 2. Encuentra los valores que lo anulan.

a² − a − 1 = 0 da:

a = (1 + √5)/2 o a = (1 − √5)/2.

No necesitas convertirlos a decimales. Conservar las raíces exactas permite comprobar que satisfacen la ecuación sin errores de redondeo.

Paso 3. Cierra el caso general.

Para cualquier otro valor real, det(A) ≠ 0 y rango(A) = 3. Aquí no hace falta calcular menores adicionales.

Paso 4. Busca un menor válido en las dos raíces.

Selecciona filas 1 y 2 y columnas 1 y 3. La submatriz tiene filas (1, 0) y (1, 1); su determinante es 1.

No contiene a, así que es no nulo también en ambos valores excepcionales. Por tanto, en las dos raíces el rango es al menos 2 y, como el determinante completo se anula, como máximo 2. Rango(A) = 2 en ambas.

Comprobación independiente: al hacer F₂ ← F₂ − F₁ queda una fila (0, a − 1, 1). Desarrollando por la primera columna vuelve a obtenerse (a − 1)a − 1. La operación conserva el determinante y confirma el polinomio.

Ejercicio 2: determinante siempre nulo no significa rango constante

Enunciado propio. Estudia el rango de B para a real:

	Columna 1	Columna 2	Columna 3
Fila 1	a	0	0
Fila 2	0	a − 1	0
Fila 3	0	0	0

Paso 1. Usa la fila nula. El determinante es cero para todo a y el rango es como máximo 2. Esa frase no termina el ejercicio.

Paso 2. Mira el menor de las dos primeras filas y columnas.

Su determinante es a(a − 1). Si a ≠ 0 y a ≠ 1, no se anula; por tanto, rango(B) = 2.

Paso 3. Estudia a = 0.

Las filas quedan (0, 0, 0), (0, −1, 0) y (0, 0, 0). Hay exactamente una fila no nula, así que rango(B) = 1.

Paso 4. Estudia a = 1.

Ahora las filas son (1, 0, 0), (0, 0, 0) y (0, 0, 0). También rango(B) = 1.

No existe un a que anule simultáneamente a y a − 1. Por eso B nunca es la matriz cero y nunca tiene rango 0. Esa justificación completa una posibilidad que sería fácil dejar sin revisar.

Observa la diferencia con el primer ejercicio: allí el determinante completo distinguía el caso general; aquí no aporta valores excepcionales y debemos bajar a orden dos desde el principio.

Ejercicio 3: rango de una matriz rectangular

Enunciado propio. Estudia el rango de C, de tamaño 2 × 3:

	Columna 1	Columna 2	Columna 3
Fila 1	1	a	1
Fila 2	a	1	a

Paso 1. Fija el máximo. Como solo hay dos filas, rango(C) ≤ 2. No intentes aplicar Sarrus: la matriz no es cuadrada y no tiene determinante completo.

Paso 2. Escoge las columnas 1 y 2.

El menor vale 1 − a². Para a ≠ 1 y a ≠ −1, es no nulo y demuestra rango(C) = 2.

Paso 3. Sustituye a = 1.

Ambas filas son (1, 1, 1): son iguales y no nulas. Rango(C) = 1.

Paso 4. Sustituye a = −1.

Las filas son (1, −1, 1) y (−1, 1, −1). La segunda es la opuesta de la primera: rango(C) = 1.

Podrías comprobar los otros menores: el de columnas 1 y 3 es siempre cero, mientras que el de columnas 2 y 3 vale a² − 1. Pero no era necesario calcularlos para cerrar la prueba: en los casos especiales ya has mostrado la dependencia de las filas y una entrada no nula.

Cómo ahorrar operaciones sin perder casos

Antes de expandir un determinante, busca ceros y filas relacionadas. Sumar a una fila un múltiplo de otra conserva el determinante; intercambiar dos filas cambia su signo. Multiplicar una fila por un número multiplica el determinante por ese número. Elige operaciones que puedas seguir con claridad.

Con parámetros, evita dividir sin haber separado el posible cero. Dividir por a − 1 exige trabajar bajo a ≠ 1 y volver después a a = 1 en la matriz original. Un método más corto que pierde un caso no resuelve el ejercicio.

Comprueba tu respuesta con valores sencillos: en A, a = 0 da determinante −1 y rango 3; en B, a = 2 da dos filas no nulas independientes; en C, a = 0 da filas (1, 0, 1) y (0, 1, 0), de rango 2.

Preguntas frecuentes

¿Determinante cero significa rango uno?

No. En una matriz 3 × 3 solo permite afirmar que el rango es menor que tres. Un menor de orden dos no nulo demuestra que el rango es dos.

¿Una matriz rectangular tiene determinante?

No tiene un determinante completo. Para estudiar su rango puedes calcular determinantes de submatrices cuadradas, llamados menores, o hacer reducción por filas.

¿Puedo dividir una fila por el parámetro?

Solo en los casos en que hayas establecido que ese parámetro no es cero. Si podría anularse, separa el caso antes de dividir para no perderlo.

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Referencia conceptual: Sergei Treil, Brown University: Determinants, Linear Algebra Done Wrong. Las matrices, sus parámetros y las soluciones anteriores son originales de redbachiller.