Densidad de probabilidad: áreas y normalización PAU

En una distribución continua, la altura de la curva no es la probabilidad de un valor exacto. La probabilidad de un intervalo se obtiene como área bajo una densidad. Esta distinción ayuda a comprender por qué una tabla normal representa áreas y por qué no se puede leer cualquier f(x) como un porcentaje.

Este artículo es una práctica conceptual de conexión entre cálculo integral y probabilidad, sin afirmar que el modelo concreto forme parte del examen de una comunidad. Los datos y funciones son originales. No utilizaremos una distribución normal ni una tabla de valores prefabricados.

Qué condiciones debe cumplir una densidad

Una función de densidad f es no negativa y su integral sobre todo el soporte vale uno. El soporte es el conjunto de valores donde se concentra la distribución. Fuera del intervalo indicado en nuestros ejemplos, la densidad será cero.

Para a<b, P(a<X<b)=∫ de a a b de f(x)dx, recortando al soporte cuando haga falta. En estos modelos con densidad, cambiar los signos estrictos por inclusivos en los extremos no altera la probabilidad.

El área de un punto aislado es cero. Por eso P(X=a)=0 aunque f(a) sea positiva. Ese resultado no significa que ningún resultado concreto pueda observarse; expresa cómo asigna probabilidades el modelo continuo a conjuntos y no a valores aislados.

Ejercicio 1: encontrar la constante

Sea f(x)=kx para 0≤x≤2 y f(x)=0 fuera de ese intervalo. Encuentra k para que sea una densidad.

Paso 1. Normalizar. La integral de 0 a 2 de kx dx es k[x²/2] de 0 a 2=2k. Exigimos 2k=1.

Paso 2. Resolver. k=1/2. La función queda f(x)=x/2 en el soporte.

Paso 3. Revisar no negatividad. Para x entre cero y dos, x/2≥0. No basta con que el área total sea uno si la función tuviera zonas negativas.

Paso 4. Interpretar el dibujo. La gráfica es un triángulo de base dos y altura uno; su área es 2·1/2=1. La comprobación geométrica coincide con la integral.

k no representa P(X=1). Es un parámetro que ajusta el área completa. Confundir el papel de la constante con una probabilidad puntual produciría una lectura distinta del modelo.

Ejercicio 2: un intervalo y una condición

Con la densidad anterior, calcula P(1<X<1,5) y P(X>1,5 | X>1).

Paso 1. Intervalo. Integramos x/2 entre 1 y 1,5. La primitiva es x²/4 y obtenemos (1,5²−1²)/4=0,3125.

Paso 2. Evento condicionante. P(X>1)=1−1²/4=0,750. Es positivo, por lo que podemos utilizarlo como denominador.

Paso 3. Intersección. Si X>1,5, también X>1. Así, la intersección de los dos eventos es X>1,5. Su probabilidad es 1−1,5²/4=0,4375.

Paso 4. Cociente. La probabilidad condicionada es 0,4375/0,750=7/12≈0,5833.

No usamos 0,3125 como numerador: ese dato corresponde al intervalo situado entre uno y uno y medio, mientras que aquí se pregunta por superar uno y medio después de restringir la muestra a valores mayores que uno. Dibujar las regiones evita elegir un área por cercanía numérica.

Ejercicio 3: una densidad con altura mayor que uno

Sea g(x)=2 para 0≤x≤0,5 y cero fuera. Decide si es válida y calcula P(0,1<X<0,3).

Paso 1. Revisar área total. El rectángulo tiene base 0,5 y altura dos. Su área es 0,5·2=1, y g no es negativa. Es una densidad válida.

Paso 2. Probabilidad del intervalo. La base es 0,3−0,1=0,2. El área es 0,2·2=0,4.

Paso 3. Distinguir magnitudes. g(0,2)=2 no es una probabilidad del 200 %. La probabilidad de ese punto aislado es cero, mientras que la probabilidad del intervalo calculado es 40 %.

El ejemplo muestra que el límite superior uno se aplica a las probabilidades, no necesariamente a las alturas. Si la variable tuviera unidades físicas, la densidad tendría las unidades inversas para que el área fuese adimensional.

Un cuarto control: recuperar la acumulada

Para f(x)=x/2 en [0,2], la función acumulada F(x)=P(X≤x) vale cero si x<0, x²/4 si 0≤x≤2 y uno si x>2. Esta definición por tramos conserva el soporte.

Por ejemplo, F(1,5)−F(1)=0,5625−0,250=0,3125, exactamente el primer resultado del segundo ejercicio. La acumulada no es la densidad: una da área hasta un punto y la otra da altura.

F nunca disminuye y se mantiene entre cero y uno. Esos controles permiten detectar una integración con signo incorrecto o un olvido del comportamiento fuera del intervalo. No sustituyas x=3 en x²/4 sin revisar el tramo: la probabilidad acumulada ya vale uno para valores por encima de dos.

Qué cambia respecto a una variable discreta

En una tabla discreta se pueden asignar probabilidades positivas a valores individuales y sumarlas. Aquí se integran intervalos y los valores aislados tienen probabilidad cero. Aplicar la regla de una tabla discreta directamente a las alturas de una curva mezclaría dos representaciones distintas.

La regla de probabilidad condicionada sigue siendo la misma. Lo que cambia es cómo se calculan numerador y denominador. Mantener separadas esas dos tareas permite trasladar un razonamiento probabilístico conocido a un modelo continuo sin inventar una fórmula nueva.

Material para seguir practicando

Relaciona este ejercicio con la explicación de referencia. Puedes consultar también el recurso gratuito. Es un apoyo de estudio; descargarlo no implica matrícula ni sustituye las instrucciones oficiales de tu convocatoria.

La base conceptual se puede contrastar en esta fuente del editor académico. Los datos numéricos y las preguntas de esta página son originales y didácticos; no se atribuyen a un examen oficial.

Preguntas frecuentes

¿La densidad puede ser mayor que uno?

Sí. Lo que debe valer uno es su integral total y lo que está entre cero y uno son las probabilidades de los sucesos.

¿P(X=1) es igual a f(1)?

No en un modelo con densidad continua: la probabilidad de un valor aislado es cero, mientras que f(1) es una altura de densidad.

¿La fórmula de probabilidad condicionada cambia por ser continua?

No. P(A|B)=P(A∩B)/P(B) cuando P(B)>0; aquí las probabilidades se obtienen como áreas o integrales.

Convierte alturas en áreas antes de hablar de azar

Normaliza primero la densidad y comprueba que cada suceso ocupa una región del soporte. Para una probabilidad condicionada, divide el área de la intersección entre el área del condicionante. Para preparar la asignatura con un itinerario más amplio, consulta el curso disponible y revisa su comunidad, precio y condiciones antes de comprar. Si preparas otra comunidad, elige la tuya desde el catálogo PAU.