Bolzano: existencia de raíces y límites de unicidad PAU

Cuando una pregunta pide demostrar que una ecuación tiene solución, no siempre hace falta encontrar esa solución de forma exacta. El teorema de Bolzano permite garantizar una raíz a partir de continuidad y signos opuestos. Sin embargo, su conclusión es más limitada de lo que a veces se escribe.

El objetivo de estos ejercicios es distinguir cuatro tareas: demostrar existencia, demostrar unicidad, localizar aproximadamente y calcular de manera exacta. Pueden aparecer en el mismo problema, pero no se resuelven mediante una sola frase.

Qué hipótesis necesitas y qué obtienes

Sea f continua en un intervalo cerrado [a,b]. Si f(a) y f(b) tienen signos estrictamente opuestos, existe al menos un c entre a y b con f(c) = 0. Es un caso del teorema del valor intermedio aplicado al valor cero.

La continuidad debe mantenerse en todo el intervalo. No basta con evaluar los extremos y encontrar un producto negativo. Tampoco se obtiene que la función sea creciente ni que cruce una sola vez.

Si un extremo ya vale cero, has encontrado directamente una raíz en ese extremo. Esa situación es distinta de la garantía de una raíz interior que proporcionan los signos opuestos.

Ejercicio 1: una raíz de x³ + x − 5

Estudia la existencia de raíces de f(x) = x³ + x − 5 en [1,2]. Como es un polinomio, es continua en todos los reales y, por tanto, en ese intervalo cerrado.

Calculamos f(1) = 1 + 1 − 5 = −3 y f(2) = 8 + 2 − 5 = 5. Los signos son opuestos. Por Bolzano existe al menos una raíz c en (1,2).

Hasta aquí no hemos demostrado que sea la única. Para hacerlo, derivamos: f′(x) = 3x² + 1. Esta expresión es estrictamente positiva para todo real. La función es estrictamente creciente y no puede tomar el valor cero en dos puntos distintos.

La conclusión completa es que hay exactamente una raíz real y está entre uno y dos. Existencia procede de Bolzano; unicidad, de la monotonía. Escribir ambas razones muestra qué sostiene cada parte.

Localizar no significa obtener una fórmula exacta

Para estrechar el intervalo, evaluamos f(1,5) = 3,375 + 1,5 − 5 = −0,125 y f(1,6) = 4,096 + 1,6 − 5 = 0,696. La raíz está entre 1,5 y 1,6.

Probamos el punto medio 1,55: su cubo es 3,723875 y f(1,55) = 0,273875. Conservamos el intervalo [1,5;1,55], pues sigue conteniendo valores de signo opuesto y la continuidad permanece.

Este procedimiento puede repetirse. Cada paso reduce la amplitud del intervalo, pero una sucesión de aproximaciones no convierte 1,55 en la raíz. Su imagen no es cero.

Si necesitas una tolerancia determinada, fija un criterio antes de detenerte. Por ejemplo, el punto medio de un intervalo que encierra la raíz tiene error absoluto no mayor que la mitad de su amplitud. La justificación depende de conservar realmente ese encierro.

Ejercicio 2: tres raíces, una sola garantía inicial

Considera g(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) en [0,4]. Es continua por ser polinómica. Los valores extremos son g(0) = −6 y g(4) = 6.

Bolzano garantiza al menos una raíz interior. Pero la factorización muestra tres: x = 1, x = 2 y x = 3. Todas pertenecen al intervalo y anulan un factor.

Este ejemplo refuta la frase de que signos opuestos significan una única raíz. El teorema permite un número mayor de ceros. Tampoco exige que se repartan de forma uniforme o que uno coincida con el punto medio.

Aquí no necesitas un cálculo aproximado para identificar las raíces, porque la expresión factorizada las proporciona exactamente. El método elegido debe aprovechar la información disponible, no convertir cualquier problema en una tabla interminable.

Ejercicio 3: signos opuestos con un salto

Definimos h(x) = −2 para x < 0 y h(x) = 3 para x ≥ 0. En [−1,1], los extremos tienen signos opuestos, pero la función no toma nunca el valor cero.

No contradice Bolzano: h no es continua en cero. Su límite por la izquierda es −2, mientras que por la derecha y su valor en cero son 3. Falta una hipótesis del teorema.

La conclusión correcta no es que el teorema haya fallado, sino que no podíamos aplicarlo. Una lista de signos no sustituye el estudio de continuidad.

Ejercicio 4: extremos iguales de signo

La función p(x) = x² − 4 es continua en [−3,3]. Sus valores extremos son ambos cinco, positivos. Aun así, tiene raíces en −2 y 2.

Que no se cumpla la condición de signos opuestos no demuestra que no haya raíces. Simplemente esa pareja de extremos no permite obtener la garantía buscada mediante esa condición.

Si elegimos el subintervalo [0,3], encontramos p(0) = −4 y p(3) = 5, y Bolzano sí garantiza una raíz interior. Elegir el intervalo forma parte del razonamiento.

Una conclusión proporcional a la prueba

Revisa los verbos de tu respuesta. Si has usado únicamente Bolzano, escribe al menos una. Si afirmas única, añade una razón que descarte una segunda raíz. Si das un decimal, indica si es aproximado y cómo lo has acotado.

Esta separación evita respuestas que parecen completas porque contienen muchas cuentas, pero atribuyen al teorema algo que no dice. Una demostración corta con las hipótesis visibles es más precisa que una conclusión excesiva.

Referencia y material de apoyo

Puedes relacionar estos ejercicios con la explicación de referencia y consultar el recurso gratuito. El descargable es un apoyo para estudiar; no implica matrícula ni sustituye las instrucciones oficiales de tu convocatoria.

El fundamento conceptual se puede contrastar en la fuente académica consultada. Los supuestos, cifras y desarrollos son didácticos y originales; no se atribuyen a un examen oficial.

Preguntas frecuentes

¿Bolzano asegura que hay exactamente una raíz?

No. Con continuidad y valores de signo opuesto asegura al menos una raíz interior. La unicidad necesita una justificación adicional.

¿Si los extremos tienen el mismo signo no puede haber raíces?

Sí puede haberlas. No cumplir la condición de signos opuestos impide usar esa garantía, pero no demuestra ausencia de raíces.

¿Basta con que la función exista en los dos extremos?

No. Debe ser continua en todo el intervalo cerrado considerado, no únicamente estar definida en sus extremos.

Justifica primero la existencia y después la unicidad

Señala junto a cada conclusión su herramienta: continuidad y signos para existencia, monotonía para unicidad, intervalo para aproximación. No añadas una garantía que no has demostrado. Para ampliar la preparación, consulta el curso disponible y revisa la comunidad, el contenido, el precio y sus condiciones antes de comprar. Si te examinas en otra comunidad, elige la tuya desde el catálogo PAU.