Distancia de punto a recta y pie perpendicular en PAU

La distancia de un punto a una recta es la menor distancia entre ese punto y cualquiera de los puntos de la recta. Encontrarla no consiste en restar el punto dado al punto inicial de una parametrización: ese punto inicial puede estar situado en cualquier lugar de la recta.

Vamos a hallar primero el pie perpendicular y después comprobar la distancia mediante otro procedimiento. Los ejercicios son originales y se desarrollan en un sistema cartesiano ortonormal del espacio. El vector director de la recta debe ser distinto del vector nulo.

El pie como punto desconocido de la recta

Escribimos la recta r como X=A+t·u. Si H es el pie de la perpendicular desde P, entonces H=A+t·u y el vector P−H es perpendicular a u.

La condición es (P−A−t·u)·u=0. De ahí sale t=((P−A)·u)/(u·u). Se calcula el parámetro, se sustituye para obtener H y finalmente se halla |P−H|.

La división por u·u es importante. El producto escalar (P−A)·u por sí solo no es el parámetro salvo que u sea unitario. Tampoco se aplica una fórmula de distancia entre punto y plano cambiando los nombres: una recta del espacio tiene una geometría diferente.

Ejercicio 1: construir la proyección

Sea r:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,1,−1) y P=(2,3,0). Obtén el pie H y la distancia.

Paso 1. Vector desde el punto de la recta. P−A=(1,3,−2). Su producto escalar con u es 1·2+3·1+(−2)(−1)=7. Además, u·u=4+1+1=6.

Paso 2. Parámetro del pie. t=7/6.

Paso 3. Coordenadas. H=(1,0,2)+(7/6)(2,1,−1)=(10/3,7/6,5/6).

Paso 4. Perpendicularidad. P−H=(−4/3,11/6,−5/6). Su producto con (2,1,−1) es −8/3+11/6+5/6=0.

Paso 5. Longitud. |P−H|²=16/9+121/36+25/36=35/6. Por tanto, d=√(35/6)≈2,415.

El resultado exacto conserva la relación geométrica sin depender del redondeo de las coordenadas. Si sustituyes primero t≈1,17, la comprobación perpendicular puede dejar de dar exactamente cero por redondeo; eso no justifica cambiar el método.

Ejercicio 2: comprobar con producto vectorial

Calcula la misma distancia sin obtener inicialmente H. Utilizamos d=|(P−A)×u|/|u|.

Paso 1. Producto vectorial. (1,3,−2)×(2,1,−1)=(−1,−3,−5).

Paso 2. Módulos. El numerador es √(1+9+25)=√35 y el denominador √6.

Paso 3. Cociente. d=√35/√6=√(35/6), igual que antes.

El numerador es el área del paralelogramo formado por los dos vectores. Al dividir por la base |u| obtenemos la altura perpendicular, que coincide con la distancia buscada. Esta interpretación explica la fórmula y por qué es necesario dividir.

Si inviertes el orden del producto vectorial, cambian sus componentes de signo, pero no su módulo. La distancia tampoco cambia. En cambio, olvidar el denominador produce una magnitud que depende de cómo hayas elegido el vector director.

Ejercicio 3: una distancia fijada por parámetro

Sea el eje x, escrito como r:(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,0,0), y el punto P=(2,a,4). Encuentra los valores reales de a para que d(P,r)=5.

Paso 1. Pie. La proyección sobre el eje x conserva la coordenada x y anula las otras dos: H=(2,0,0).

Paso 2. Distancia. P−H=(0,a,4), de modo que d=√(a²+16).

Paso 3. Imponer el dato. √(a²+16)=5 implica a²+16=25. Así a²=9 y a=3 o a=−3.

Paso 4. Comprobar ambos. Los puntos (2,3,4) y (2,−3,4) están a distancia √(9+16)=5 del eje. No se descarta la solución negativa: el signo corresponde a una coordenada, no a una distancia negativa.

Si el objetivo hubiera sido una distancia 3, no existiría solución real, porque la coordenada z=4 ya garantiza una separación mínima de 4. Ese control geométrico permite decidir si una ecuación imposible refleja los datos o un fallo de cálculo.

Por qué cambiar la parametrización no cambia el resultado

En el primer ejercicio, sustituir u por u’=2u mantiene la recta. El nuevo parámetro del pie es t’=7/12, de modo que t’u’=(7/12)·2u=(7/6)u. H queda exactamente igual.

En la fórmula vectorial, el numerador y el denominador se multiplican por el mismo factor positivo en módulo. Por eso la distancia permanece invariable. Una respuesta que cambia al escalar u ha perdido esa compensación.

Cuando entregues el pie, verifica dos cosas distintas: pertenece a r y el segmento hasta P es perpendicular a u. Solo comprobar una de ellas no basta para identificar la proyección correcta.

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Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los ejercicios, datos y desarrollos son originales. No se atribuyen a un examen oficial ni predicen su frecuencia o los criterios de una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿El parámetro de la recta es directamente una distancia?

No en general. Depende de la longitud del vector director; solo con una parametrización apropiada puede interpretarse así.

¿Puedo elegir otro punto de la misma recta?

Sí. Cambiará el parámetro utilizado, pero el pie perpendicular y la distancia geométrica serán los mismos.

¿La distancia cambia al multiplicar el vector director por dos?

No. Se conserva la misma recta; las fórmulas coherentes compensan ese cambio y producen la misma distancia.

Verifica que el pie pertenezca y sea perpendicular

Obtén de nuevo H utilizando otro punto de la misma recta y verifica que no cambia. Comprueba pertenencia y perpendicularidad por separado, y conserva el resultado exacto de la distancia. Si trabajas con un parámetro, sustituye todas las soluciones encontradas antes de descartar alguna por su signo.

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