Asíntota oblicua y cruce: resto y dominio en la PAU

Una asíntota oblicua describe cómo una gráfica se aproxima a una recta cuando x crece en valor absoluto. No es una barrera que la curva tenga prohibido tocar. La diferencia entre la función y la recta permite comprobar ambas ideas con una misma herramienta.

En estos ejercicios utilizaremos rectas y = mx + n con m distinto de cero. La condición en una dirección del infinito es que f(x) − (mx + n) tienda a cero en esa dirección. Debemos indicar si estudiamos +∞, −∞ o ambos.

La diferencia decide el acercamiento

Calcular m como límite de f(x)/x ayuda a encontrar una pendiente candidata. Después calculamos n como límite de f(x) − mx. Para que exista una recta oblicua, ambos valores deben ser finitos y la diferencia final respecto de ella debe tender a cero.

La pendiente por sí sola no basta. Una función puede crecer de forma aproximadamente lineal y mantener una oscilación que no disminuye. Tampoco debemos buscar intersecciones antes de conocer el dominio.

Para localizar un cruce con la recta, resolvemos f(x) = mx + n. Equivale a hacer cero el resto f(x) − (mx + n), pero siempre dentro del dominio original.

Ejercicio 1: una oblicua que sí se cruza

Sea f(x) = 2x − 3 + (x − 1)/(x² + 1). El denominador x² + 1 es positivo para todo real, por lo que el dominio es todo R.

La recta candidata es y = 2x − 3. Su diferencia con la función es (x − 1)/(x² + 1). Al dividir numerador y denominador por x², obtenemos (1/x − 1/x²)/(1 + 1/x²), que tiende a cero tanto en +∞ como en −∞.

Por tanto, y = 2x − 3 es asíntota oblicua en ambas direcciones. Para estudiar cruces, hacemos cero el resto. Como el denominador no se anula, debe ser x − 1 = 0. El único cruce es x = 1.

La ordenada es 2 × 1 − 3 = −1. La función y la recta coinciden en (1,−1). Este punto no invalida la asíntota: su definición se refiere al comportamiento lejano, no a todos los valores finitos.

De qué lado se aproxima la gráfica

En el mismo ejemplo, el denominador del resto siempre es positivo. Su signo depende de x − 1. Para x < 1, la función queda por debajo de la recta; para x > 1, por encima.

El cruce en uno conecta esos dos comportamientos. No hemos estudiado con ello toda la monotonía o curvatura de f. Saber en qué lado de la asíntota está la gráfica responde a otra pregunta distinta de si la función crece o decrece.

Una comprobación numérica puede ilustrar el acercamiento: en x = 10 el resto es 9/101, aproximadamente 0,0891; en x = 100 es 99/10001, aproximadamente 0,00990. Esos valores apoyan el cálculo, pero la demostración es el límite.

Ejercicio 2: división y ausencia de cruce

Considera g(x) = (3x² − x + 4)/(x + 2), con dominio R excepto −2. Dividimos: 3x² − x + 4 = (x + 2)(3x − 7) + 18.

Así, g(x) = 3x − 7 + 18/(x + 2). El resto tiende a cero en ambos infinitos, por lo que y = 3x − 7 es una asíntota oblicua.

Para buscar cruces necesitamos 18/(x + 2) = 0. Una fracción con numerador constante no nulo nunca vale cero donde está definida. Por tanto, no hay intersecciones con esa recta.

No elijas x = −2: allí el denominador se anula y g no está definida. El numerador original vale dieciocho en ese punto; no existe un factor que permita cancelar la singularidad. De hecho, los límites laterales dan una asíntota vertical en x = −2.

Este caso no demuestra que ninguna oblicua pueda cruzarse. Solo demuestra que esta función concreta no cruza la suya. El primer ejemplo ya proporciona un contraejemplo a la prohibición general.

Ejercicio 3: una pendiente candidata que no basta

Sea h(x) = x + sen(x). Su cociente h(x)/x = 1 + sen(x)/x tiende a uno en ambos infinitos. ¿Podemos concluir que y = x es asíntota?

No. La diferencia h(x) − x = sen(x) no tiende a cero. Toma el valor uno para x = π/2 + 2kπ y menos uno para x = 3π/2 + 2kπ, con k entero que crece hacia infinito.

Esas dos sucesiones mantienen valores diferentes. No existe un límite único de la diferencia y, en particular, no es cero. Ninguna recta paralela y = x + n arregla el problema: restar una constante conserva la oscilación.

La gráfica puede parecer cercana a la recta en una escala muy grande porque la oscilación es pequeña comparada con x. Pero la definición exige acercamiento absoluto de la diferencia a cero, no solo que el error relativo disminuya.

Comprueba el dominio después de cada transformación

Una igualdad algebraica obtenida mediante división o cancelación se interpreta en los puntos donde las expresiones originales tienen sentido. Conserva las restricciones antes de resolver una ecuación de cruce.

La pauta de autocorrección es breve: dominio original, recta candidata, límite del resto e intersecciones válidas. Cada línea justifica una afirmación diferente. Así evitas convertir una regla visual, como no tocar la recta, en una definición falsa.

Referencia y material de apoyo

Puedes relacionar estos ejercicios con la explicación de referencia y consultar el recurso gratuito. El descargable es un apoyo para estudiar; no implica matrícula ni sustituye las instrucciones oficiales de tu convocatoria.

El fundamento conceptual se puede contrastar en la fuente académica consultada. Los supuestos, cifras y desarrollos son didácticos y originales; no se atribuyen a un examen oficial.

Preguntas frecuentes

¿Una función puede cortar su asíntota oblicua?

Sí. La condición describe el comportamiento en el infinito, no prohíbe que la función coincida con la recta en puntos finitos.

¿Basta con que f(x)/x tienda a uno para tener asíntota y=x?

No. También debe tender a cero la diferencia f(x)−x. La pendiente por sí sola no determina una asíntota completa.

¿Una solución de f(x)=mx+n cuenta si está fuera del dominio?

No. Un punto de intersección debe pertenecer al dominio original, incluso si una simplificación algebraica parece ofrecer un candidato.

Comprueba el resto y permite cruces que sean válidos

Resta la recta candidata a la función y estudia ese resto. Para cada intersección, comprueba su pertenencia al dominio antes de dibujar el punto. Para ampliar la preparación, consulta el curso disponible y revisa la comunidad, el contenido, el precio y sus condiciones antes de comprar. Si te examinas en otra comunidad, elige la tuya desde el catálogo PAU.