Derivada de la inversa: punto, pendiente y tangente

Hallar la fórmula de una inversa puede exigir un despeje incómodo. Sin embargo, para conocer su pendiente en un punto no siempre necesitas ese despeje. La información local de la función original puede ser suficiente, siempre que identifiques correctamente el punto donde evaluar su derivada.

Esta práctica parte de funciones reales y propone tres ejercicios originales. El objetivo es distinguir la entrada de la función original de la entrada de su inversa, calcular una tangente y reconocer un caso en el que existe inversa pero no una derivada finita.

La pareja de puntos que organiza el cálculo

Si f(a) = b y g es la inversa de f, entonces g(b) = a. El punto (a,b) de la gráfica original corresponde al punto (b,a) de la inversa.

Bajo las condiciones de diferenciabilidad e invertibilidad local que usaremos, con f′(a) ≠ 0:

g′(b) = 1/f′(a).

En nuestros ejemplos regulares, f será continuamente derivable cerca de a y su derivada no nula permitirá trabajar con una inversa local diferenciable. No aplicaremos la expresión a un punto donde el denominador se anule.

La fórmula también se entiende derivando g(f(x)) = x: g′(f(x))f′(x) = 1. Al evaluar en a aparece g′(b)f′(a) = 1.

La entrada de g′ es b; la entrada de f′ es a. Evaluar ambas en el mismo número por costumbre es el error central de estos ejercicios.

Ejercicio 1: una cúbica que no necesitamos despejar

Sea f(x) = x³ + 2x + 1. Calcula la derivada de su inversa en b = 4 y la recta tangente correspondiente.

Primero buscamos la preimagen. Probamos x = 1: f(1) = 1 + 2 + 1 = 4. Por tanto, a = 1 y g(4) = 1.

La derivada original es f′(x) = 3x² + 2. Es positiva para todo x, de modo que f es estrictamente creciente. Además, sus límites en los extremos son menos infinito y más infinito: tiene una inversa sobre todos los reales.

Evaluamos donde corresponde: f′(1) = 5. Por tanto, g′(4) = 1/5.

La tangente a g pasa por (4,1), no por (1,4). Su ecuación es y − 1 = (1/5)(x − 4), o y = x/5 + 1/5.

Si hubieras calculado 1/f′(4), habrías obtenido 1/50. Ese número no es la pendiente pedida. No procede de un error al derivar, sino de confundir salida y entrada.

La inversa completa de la cúbica puede describirse por otros métodos, pero no aporta nada necesario para esta tangente.

Ejercicio 2: una rama con pendiente negativa

Sea f(x) = 4 − x² restringida a x > 0. Calcula la derivada de su inversa en b = −5 y su tangente.

Buscamos a > 0 tal que 4 − a² = −5. De a² = 9 elegimos a = 3 porque el dominio original exige x positivo. La raíz −3 pertenece a otra rama y no sirve aquí.

La función es estrictamente decreciente en ese dominio. Su imagen es (−∞,4), y su inversa es g(x) = √(4 − x), definida para x < 4.

Podemos resolver sin derivar esa raíz: f′(x) = −2x, por lo que f′(3) = −6. Entonces g′(−5) = −1/6.

La tangente pasa por (−5,3):

y − 3 = −(1/6)(x + 5).

Para comprobar, derivamos la fórmula explícita g′(x) = −1/[2√(4 − x)]. En x = −5 el denominador es seis y recuperamos −1/6.

El signo negativo tiene sentido: la inversa de esta rama decreciente también es decreciente. No debe tomarse el valor absoluto de la pendiente como si fuera una longitud.

Ejercicio 3: existe inversa, pero aparece una pendiente no finita

Considera f(x) = x³ y su inversa g(x) = ∛x. ¿Podemos obtener una derivada finita de g en cero?

La función original es estrictamente creciente y tiene inversa global. Sin embargo, f′(0) = 0. Escribir g′(0) = 1/0 no produce un número real ni una derivada finita.

Comprobamos directamente el cociente incremental de g en cero:

[g(h) − g(0)]/h = ∛h/h.

Si h = t³, con t distinto de cero, el cociente vale t/t³ = 1/t². Cuando h tiende a cero, t también lo hace y el cociente crece sin límite positivo.

La inversa no tiene derivada real finita en cero. Su gráfica presenta una tangente vertical en ese punto. Eso es compatible con que g sea una función bien definida y continua.

El ejemplo muestra que hay que separar tres preguntas: si existe inversa, si es continua y si tiene una derivada finita en el punto. No son afirmaciones equivalentes.

Una estimación local y sus límites

En el primer ejercicio, la tangente permite estimar g(4 + ε) ≈ 1 + ε/5 para incrementos pequeños. Por ejemplo, con ε = 0,10, la estimación es g(4,10) ≈ 1,02.

No estamos afirmando que f(1,02) sea exactamente 4,10. Conviene sustituir y desarrollar sin redondear: 1,02³ = 1,061208 y 2·1,02 + 1 = 3,04, de modo que f(1,02) = 4,101208.

La diferencia recuerda que una tangente es una aproximación local. El término lineal captura el primer cambio, pero los términos de orden superior no desaparecen.

Un esquema breve para cualquier punto imagen

Escribe primero f(a) = b. Comprueba la rama o dominio que determina a y justifica que trabajas con una inversa adecuada.

Después evalúa f′ en a, no en b. Si ese valor es no nulo y se cumplen las condiciones locales, invierte la pendiente y coloca la tangente en el punto intercambiado (b,a).

Si el denominador se anula, detén la aplicación automática. Analiza el cociente incremental u otra propiedad local. La ausencia de un número en la fórmula no autoriza a concluir que la inversa no exista.

Para conectar el cálculo con el bloque general, consulta el artículo relacionado de Matemáticas II. En la libreta de errores puedes registrar el supuesto o paso que has corregido; es un recurso de organización del estudio.

Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los enunciados, cifras y desarrollos son originales; no son preguntas oficiales ni acreditan frecuencia de aparición en una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿La derivada de f⁻¹ en b es 1/f′(b)?

En general no. Debes encontrar a tal que f(a) = b. Si se cumplen las condiciones de la fórmula, la derivada de la inversa en b es 1/f′(a).

¿Necesito despejar toda la inversa para hallar su tangente?

No. Basta conocer la preimagen a, el valor b = f(a) y una derivada f′(a) no nula, junto con las condiciones que garantizan la inversa local.

¿Si f′(a) = 0 la inversa no existe?

No necesariamente. La función x³ tiene inversa, pero su inversa no tiene una derivada real finita en cero. Que falle esta fórmula no prueba que la función carezca de inversa.

Busca la preimagen antes de invertir la pendiente

En cada ejercicio escribe la pareja a y f(a) antes de calcular la pendiente inversa. Para seguir con funciones y derivadas, consulta Matemáticas II de Galicia y revisa contenidos, precio y condiciones actuales de compra. El programa de tu comunidad determina el alcance exigido; los ejemplos de esta práctica son originales.

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