Función inversa: dominio y composición en ejercicios

Despejar x en una ecuación es sólo una parte de hallar una función inversa. Si una misma salida procede de dos entradas, el despeje puede producir dos valores y no definir una función inversa. Por eso el dominio forma parte del problema y no se añade al final como un trámite.

Los ejercicios de esta práctica son originales. Trabajaremos con funciones reales y especificaremos sus dominios e imágenes. No utilizamos f⁻¹ como exponente: esa notación representa la operación que deshace f mediante composición.

Qué significa deshacer una función

Si f lleva x a y, su inversa g debe llevar y de vuelta a x. Entonces g(f(x))=x para cada x del dominio de f, y f(g(y))=y para cada y de la imagen de f.

Para que exista esa inversa sobre la imagen, f debe ser inyectiva: dos entradas distintas no pueden producir la misma salida. Si se ha fijado un codominio, también debe coincidir con la imagen para hablar de una biyección sobre él.

En una gráfica, una recta horizontal no puede cortar más de una vez a una función inyectiva. Es una comprobación visual útil, pero en los ejercicios siguientes justificaremos los dominios algebraicamente.

Ejercicio 1: una cuadrática restringida a la derecha

Sea f(x)=(x−2)²+1, definida para x≥2. Halla su inversa e indica dominio e imagen.

En esa rama, x−2 es no negativo y la función crece desde el valor 1. Su imagen es [1,+∞).

Escribe y=(x−2)²+1. Entonces (x−2)²=y−1 y, como x≥2, corresponde x−2=+√(y−1). Así, x=2+√(y−1).

La inversa es g(x)=2+√(x−1), con dominio [1,+∞) e imagen [2,+∞).

Para comprobar, f(g(x))=(√(x−1))²+1=x cuando x≥1.

En el otro sentido, g(f(x))=2+√((x−2)²)=2+|x−2|. Como el dominio original exige x≥2, |x−2|=x−2 y la composición vale x.

El valor absoluto es decisivo. Escribir √(u²)=u sin considerar el signo puede ocultar que la misma fórmula no funciona en todo R.

Ejercicio 2: la misma expresión en la rama izquierda

Ahora h(x)=(x−2)²+1 está definida para x≤2. La imagen sigue siendo [1,+∞), pero la inversa cambia.

La condición x−2≤0 obliga a tomar x−2=−√(y−1). Por tanto, h⁻¹(x)=2−√(x−1), con dominio [1,+∞) e imagen (−∞,2].

Por ejemplo, h(−1)=10 y h⁻¹(10)=2−3=−1. La fórmula de la rama derecha habría devuelto 5, otro punto de la parábola, pero fuera del dominio de h.

Sin restringir el dominio, la función cuadrática no tendría una inversa real univaluada: f(−1)=f(5)=10. Una supuesta respuesta 2±√(x−1) describe dos ramas y no una única función inversa para entradas mayores que 1.

La elección del signo no depende de cuál parezca más cómoda; depende de qué rama se declaró al principio.

Ejercicio 3: una función racional con un valor excluido

Sea r(x)=(2x+3)/(x−1), para x≠1. Encuentra su inversa.

De y=(2x+3)/(x−1), multiplicamos por x−1: yx−y=2x+3. Agrupando, x(y−2)=y+3.

Si y≠2, x=(y+3)/(y−2). El valor y=2 nunca se obtiene: la igualdad 2(x−1)=2x+3 exigiría −2=3.

Por tanto, la imagen de r es R excepto 2 y r⁻¹(x)=(x+3)/(x−2), definida para x≠2. Su imagen excluye 1, en correspondencia con el dominio original.

Comprueba con x=4: r(4)=11/3 y r⁻¹(11/3)=(20/3)/(5/3)=4.

También puede verificarse por composición simbólica. Al sustituir r(x) en la inversa, el numerador se convierte en 5x/(x−1) y el denominador en 5/(x−1). Su cociente es x, siempre que x≠1.

No debes incluir x=2 en el dominio de la inversa porque el denominador sea cero. Tampoco se arregla asignando arbitrariamente un valor a ese punto: no existe una entrada original que produzca 2.

Inversa frente a recíproca: una comprobación numérica

Para la primera función, f(3)=2. Su inversa cumple f⁻¹(2)=3. En cambio, la recíproca en 2 es 1/f(2)=1, porque f(2)=1.

Las operaciones contestan preguntas distintas. La inversa pregunta qué entrada produjo la salida 2. La recíproca toma el valor de f en una entrada y calcula su inverso multiplicativo.

Antes de operar, lee qué notación utiliza el enunciado. Si se pide una inversa por composición, entregar una fracción 1/f(x) no responde a la tarea.

Revisar restricciones después de simplificar

Las simplificaciones pueden ocultar valores excluidos. Conserva las condiciones de los denominadores originales y de las raíces, y no declares R como dominio por costumbre.

En las composiciones, además de que una expresión exista, su resultado intermedio debe pertenecer al dominio de la función exterior. Esas condiciones explican por qué las identidades anteriores se escriben con intervalos y exclusiones concretos.

Una respuesta completa reúne fórmula, dominio, imagen y una composición comprobada. Ese conjunto permite detectar una rama equivocada aunque algunos valores aislados coincidan.

Para conectar esta práctica con el bloque general, consulta el artículo relacionado de Matemáticas II. Puedes repasar relaciones y conceptos con el recurso gratuito de Matemáticas II; su descarga no acredita que se permita llevarlo al examen.

Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los enunciados, cifras y desarrollos de esta página son originales; no son ejercicios oficiales ni implican frecuencia de aparición en una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿f⁻¹ significa lo mismo que 1/f?

No. f⁻¹ designa la función inversa por composición; 1/f es la función recíproca donde f no vale cero.

¿Una parábola puede tener inversa?

En todo su dominio real no es inyectiva. Puede tener una inversa si se restringe a una rama adecuada y se toma como codominio su imagen.

¿Basta con despejar y cambiar las letras?

No. Debes indicar dominio e imagen, elegir la rama correcta cuando corresponda y comprobar las composiciones en sus dominios.

Comprueba cada inversa con su dominio

Escribe las dos ramas de una cuadrática por separado y comprueba qué entrada recupera cada inversa. En una racional, anota primero los valores excluidos y conserva esas restricciones durante las composiciones.

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