De Bayes á binomial: pezas con alerta e probabilidade

Se só escolles pezas que activaron unha alerta, a probabilidade de defecto xa non é a da produción completa. Primeiro calcula P(defecto | alerta) con Bayes; despois, se as seleccións son independentes e manteñen esa probabilidade, úsaa como parámetro da binomial. No exercicio seguinte, o 1 % inicial convértese en 8/41, aproximadamente o 19,51 %.

Esta práctica orixinal de Matemáticas II combina dúas decisións: identificar a poboación seleccionada e xustificar a distribución. Non é unha pregunta oficial nin unha predición do exame.

Que relación ten coa PAU de Galicia?

As orientacións oficiais de Matemáticas II para a PAU 2027 inclúen probabilidade condicionada, independencia, probabilidade total, Bayes e distribución binomial. A circular do 16 de setembro de 2026 confirma que non hai cambios no modelo para 2027.

O modelo oficial de 2027 traballa probabilidade total e condicionada nun contexto de préstamos. O problema industrial desta páxina é distinto e creado por redbachiller: conecta unha selección por alerta cun reconto binomial posterior. Que ambos os contidos entren nas orientacións non garante que aparezan xuntos nun exame.

Enunciado propio: catro pezas con alerta

Nun modelo ideal de fabricación, o 1 % das pezas é defectuoso. Un detector activa unha alerta no 96 % das pezas defectuosas e no 4 % das pezas sen defecto.

Para obter cada peza da mostra, inspecciónanse novas pezas ata atopar unha con alerta. Repítese este procedemento catro veces, con inspeccións independentes e as mesmas probabilidades en todas elas. Así obtemos catro pezas con alerta, seleccionadas independentemente.

Calcula:

1. A probabilidade de que unha peza calquera active a alerta.
2. A probabilidade de defecto sabendo que houbo alerta.
3. A probabilidade de que polo menos unha das catro pezas seleccionadas sexa defectuosa.
4. O mesmo reconto para catro pezas independentes da produción completa, sen filtrar por alerta.

Os datos son hipotéticos. Non describen un detector real nin permiten tomar decisións de control de calidade fóra deste modelo.

Paso 1: organizar os datos sen inverter a condición

Chamamos D a «peza defectuosa» e A a «activa a alerta». Temos:

• P(D) = 0,01 e P(non D) = 0,99.
• P(A | D) = 0,96.
• P(A | non D) = 0,04.

O 96 % responde a «se é defectuosa, con que probabilidade avisa?». A pregunta que resolveremos despois será a inversa: «se avisa, con que probabilidade é defectuosa?».

Para visualizar os denominadores, imaxina as frecuencias teóricas dun conxunto de 10 000 pezas:

Estado	Con alerta	Sen alerta	Total
Defectuosas	96	4	100
Sen defecto	396	9 504	9 900
Total	492	9 508	10 000

Esta táboa representa proporcións do modelo, non asegura que unha mostra real teña exactamente eses recontos.

Paso 2: calcular a alerta total e aplicar Bayes

Unha alerta pode proceder dunha peza defectuosa ou dunha peza sen defecto. Son ramas incompatibles que cobren toda a produción:

P(A) = 0,01·0,96 + 0,99·0,04 = 0,0492.

Polo tanto, o 4,92 % das pezas activa a alerta no modelo.

Entre as pezas con alerta, a fracción defectuosa é:

P(D | A) = P(D ∩ A)/P(A) = 0,0096/0,0492 = 8/41 ≈ 0,195122.

Na táboa vese como 96/492. O denominador é o total de alertas, non o total de defectuosas.

A maioría das alertas corresponde aquí a pezas sen defecto: P(non D | A) = 33/41. Isto é compatible cunha detección do 96 %, porque as pezas sen defecto son moito máis numerosas inicialmente. Non confundas a capacidade de detectar un defecto coa proporción de defectos entre as alertas.

Paso 3: escoller a probabilidade da binomial

Sexa X o número de defectuosas entre as catro pezas con alerta. Cada selección produce «defectuosa» ou «non defectuosa»; o número de seleccións é fixo, son independentes e p = 8/41 permanece constante. Logo:

X segue unha binomial B(4, 8/41).

«Polo menos unha» é o complementario de «ningunha»:

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (33/41)⁴ ≈ 0,5803.

É aproximadamente o 58,03 %. Conservamos a fracción ata o final para evitar arrastrar o redondeo de 0,1951.

Non usamos p = 0,96: esa é a probabilidade de alerta condicionada a defecto. Tampouco usamos p = 0,01: esa describe a produción completa, que xa non é a poboación da mostra seleccionada.

Paso 4: comparar coa produción sen filtrar

Agora sexa Y o número de defectuosas entre catro pezas independentes tomadas sen consultar o detector. Nesta segunda pregunta si corresponde a probabilidade inicial:

Y segue B(4, 0,01).

Así:

P(Y ≥ 1) = 1 − 0,99⁴ = 0,03940399 ≈ 3,94 %.

Non cambiaron as características da produción: cambiou o procedemento de selección. Comparar o 58,03 % co 3,94 % explica por que hai que ler de novo a condición antes de reutilizar un dato.

Cando deixaría de valer esta solución?

Seleccionar catro pezas sen reposición dun pequeno lote de alertas non garante independencia: habería que coñecer a composición do lote e estudar outro modelo. Tampouco basta con afirmar independencia se as pezas comparten unha calidade de lote descoñecida que modifica as probabilidades.

Aquí a independencia pertence ao enunciado ideal e ao procedemento repetido. Non se deduce simplemente de que haxa catro pezas. Para contrastar esa diferenza, resolve a práctica de probabilidade sen reposición e condicionada.

Se o problema dixese «entre catro pezas, sabemos que polo menos unha activa a alerta», a condición afectaría ao grupo enteiro. Non sería o mesmo que seleccionar catro pezas que activaron a alerta individualmente.

Preguntas frecuentes

Que probabilidade uso na binomial se só escollo pezas con alerta?

Usa P(defecto | alerta), calculada previamente con Bayes, sempre que o enunciado xustifique seleccións independentes coa mesma probabilidade.

Un detector que avisa no 96 % dos defectos implica que o 96 % das alertas son defectos?

Non. Son probabilidades condicionadas inversas. A proporción de defectos entre as alertas tamén depende da frecuencia inicial de defectos e das alertas entre pezas sen defecto.

Podo usar a binomial se retiro pezas dun lote sen reposición?

Non automaticamente. Nun lote finito, as extraccións poden ser dependentes e a probabilidade pode cambiar. Cómpre revisar o modelo antes de aplicar a fórmula binomial.

Continúa practicando coa condición escrita

Antes de calcular, completa esta frase: «Estou escollendo entre…». Despois define a variable que conta os éxitos e xustifica a súa distribución. Podes ampliar o reconto con exercicios de binomial: exactamente e polo menos.

A mostra gratuíta de Matemáticas II permite coñecer o método con Análisis, Álgebra y matrices e Geometría en el espacio; non é unha mostra específica deste bloque de probabilidade. O curso de Matemáticas II para Galicia está dispoñible por 12 €, nun pagamento único. Consulta o temario público e as condicións actuais na ficha antes de comprar.