Plano que contén a intersección doutros dous: exercicio

Para achar un plano que contén a recta de intersección doutros dous, combina as súas ecuacións completas: aπ₁ + bπ₂ = 0, con a e b non ambos nulos. Despois impón a condición adicional sobre a normal. A comprobación final debe incluír toda a recta, non só un punto dela.

Esta práctica orixinal de Matemáticas II resolve unha construción concreta. A extraordinaria de Galicia de 2025 pide obter unha recta intersección no apartado 4.1.2 e un plano que contén dúas rectas no 4.2.2. Son habilidades relacionadas; o noso enunciado non reproduce esas preguntas nin anuncia o que aparecerá nun exame futuro.

O problema: unha recta común e outra condición

Sexan os planos π₁: x + y + z − 1 = 0 e π₂: x − y + 2z − 2 = 0. Acha o plano que contén a súa recta de intersección e é perpendicular ao plano α: x + 2y − z = 0. Xustifica por que existe e comproba a resposta.

Antes de operar, separa as dúas esixencias. Conter a recta significa que todos os seus puntos deben satisfacer a ecuación buscada. Ser perpendicular a α impón unha relación entre as normais dos dous planos. Unha condición resolve a pertenza; a outra selecciona un membro da familia.

Primeiro comproba que os planos se cortan nunha recta

As normais son n₁ = (1,1,1) e n₂ = (1,−1,2). Non son proporcionais. Tamén podes comprobalo co produto vectorial: n₁ × n₂ = (3,−1,−2), que non é o vector cero.

Por tanto, os planos son secantes e a súa intersección é unha recta. Esta comprobación dá sentido ao resto do método. Se os planos fosen paralelos distintos, non existiría esa recta común; se coincidisen, a intersección sería un plano.

O produto vectorial proporciona ademais unha dirección da recta. Gardámola para revisar despois que a normal do plano resultado sexa perpendicular a esa dirección. Non necesitamos resolver aínda todo o sistema.

Constrúe a familia coas ecuacións completas

Escribimos a(x + y + z − 1) + b(x − y + 2z − 2) = 0. Agrupando termos obtemos:

(a + b)x + (a − b)y + (a + 2b)z − a − 2b = 0.

Os termos independentes tamén se combinan. Omitir −a − 2b produciría outro conxunto de puntos, aínda que calculases correctamente a normal. A normal desta familia é n = (a + b, a − b, a + 2b).

Por que contén a recta? En calquera punto común a π₁ e π₂, ambas as expresións entre parénteses valen cero. A súa combinación tamén vale cero. O argumento serve para todos os puntos da intersección, sen escollelos un a un.

A condición (a,b) ≠ (0,0) evita a identidade 0 = 0, que non define un plano. Neste caso tamén garante unha normal non nula, porque n₁ e n₂ son independentes. A representación con dous coeficientes inclúe π₂ cando a = 0; escribir só π₁ + λπ₂ deixaría ese membro fóra.

Impón a perpendicularidade coa normal adecuada

A normal de α é m = (1,2,−1). Dous planos son perpendiculares cando as súas normais non nulas teñen produto escalar cero. Así:

(a + b) + 2(a − b) − (a + 2b) = 0.

Simplificando queda 2a − 3b = 0. Podemos escoller a = 3 e b = 2. Substituíndo na familia atopamos 5x + y + 7z − 7 = 0.

Escoller a = 6 e b = 4 daría unha ecuación proporcional, que representa o mesmo plano. A condición fixa a razón 3:2, non un tamaño obrigatorio para os coeficientes. Por iso o resultado é único como plano, aínda que admita varias ecuacións.

A ordinaria de Galicia de 2025, apartado 4.1, tamén traballa condicións de paralelismo e perpendicularidade entre planos. Empregámola como referencia histórica desta habilidade, sen atribuír unha puntuación ao exercicio propio.

Verifica toda a recta e a perpendicularidade

Resolvemos agora o sistema inicial tomando z = t. Da suma das ecuacións sae 2x + 3z = 3. Polo tanto, x = 3/2 − 3t/2 e y = −1/2 + t/2.

A recta queda (x,y,z) = (3/2,−1/2,0) + t(−3/2,1/2,1). Substitúe estes tres valores no plano resultado:

5(3/2 − 3t/2) + (−1/2 + t/2) + 7t − 7 = 0.

Os termos constantes suman cero e os coeficientes de t tamén. A igualdade vale para calquera t real: acabamos de comprobar a pertenza de toda a recta.

Ademais, (5,1,7) · (1,2,−1) = 5 + 2 − 7 = 0. A normal non é nula, polo que esta conta confirma a perpendicularidade pedida. As dúas comprobacións responden as dúas condicións do enunciado.

O erro de verificar só un punto

O punto (3/2,−1/2,0) pertence ao resultado, pero iso só proba que dous obxectos comparten un punto. Moitos planos pasan por el sen conter a recta completa. Substituír a parametrización evita esa conclusión precipitada.

Outra revisión útil é calcular (5,1,7) · (3,−1,−2) = 0. A normal do plano é perpendicular á dirección da recta. Xunto coa pertenza dun punto, iso tamén demostra que o plano contén a recta.

Na libreta de erros distingue «pertenza dun punto», «pertenza dunha recta» e «perpendicularidade entre planos». Son comprobacións diferentes, aínda que empreguen os mesmos coeficientes.

Preguntas frecuentes

Por que hai que combinar tamén os termos independentes?

Porque forman parte das ecuacións dos planos. Se os omites, os puntos da intersección inicial poden deixar de satisfacer a ecuación combinada.

Abonda comprobar un punto para demostrar que o plano contén a recta?

Non. Debes comprobar toda a parametrización, ou verificar un punto da recta e que a súa dirección é perpendicular á normal do plano.

Podo aplicar o método se os planos iniciais son paralelos?

Non coa mesma interpretación. Dous planos paralelos distintos non teñen unha recta común; dous coincidentes comparten un plano. Primeiro comproba que son secantes.

Continúa coa xeometría do espazo

Reconstrúe a combinación sen mirar a solución e verifica por separado as dúas condicións. A mostra de Matemáticas II permite probar explicacións e práctica abertas. O curso de Matemáticas II para Galicia está dispoñible para compra: consulta os contidos e as condicións na ficha antes de decidir.