Rectas que se cruzan na PAU de Matemáticas II de Galicia

A pregunta 4 da PAU de Matemáticas II de Galicia pertence ao bloque de Xeometría e vale dous puntos. No modelo que a CiUG publica para a convocatoria de 2027 ofrécense dous apartados, o 4.1 e o 4.2, e só hai que responder un. Se se contestan os dous, só se valora o primeiro que se realice, segundo os criterios xerais de avaliación.

Nesta guía traballamos unha das situacións que as orientacións xerais do grupo de traballo recollen de forma explícita: dúas rectas que se cruzan no espazo. Vemos como se decide a súa posición relativa, como se calcula o ángulo que forman, como se mide a distancia entre elas e como se escribe a recta que as corta perpendicularmente. Ao final hai un exercicio orixinal, resolto paso a paso, para que poidas comparar co teu propio traballo.

O marco oficial da proba

Convén ter diante o que din os documentos antes de calcular nada. A páxina de Matemáticas II da CiUG reúne o modelo de exame, as orientacións xerais, os criterios de avaliación e a circular informativa. A circular, do 16 de setembro de 2026, confirma que non hai cambios no modelo desta materia respecto do curso anterior.

Os criterios xerais de avaliación fixan que a proba consta de catro preguntas cun total de oito exercicios, e que para acadar a nota máxima hai que facer ben cinco exercicios, cada un cun valor máximo de dous puntos. A pregunta 4 (Xeometría) leva dous apartados e só se responde un; se se contestan os dous, só se avalía o primeiro realizado.

Nas orientacións xerais, ao describir o sentido espacial, o grupo de traballo pide a formulación e resolución de problemas métricos: medida de ángulos entre rectas e planos, medida de distancias entre puntos, rectas e planos, perpendicularidade e mais a perpendicular común a dúas rectas que se cruzan. É xusto o terreo que pisamos aquí.

Posición relativa de dúas rectas

Dadas dúas rectas con direccións d1 e d2 e un punto en cada unha (A na primeira e B na segunda), hai tres situacións posibles e distínguense con dous cálculos:

• Se d1 e d2 son proporcionais, as rectas son paralelas ou coincidentes. Non hai nada máis que facer: non se cruzan.
• Se d1 e d2 non son proporcionais, calculamos o produto mixto [d1, d2, AB]. Se vale cero, as dúas rectas están no mesmo plano e córtanse nun punto. Se non vale cero, non están no mesmo plano: crúzanse.

O produto mixto escríbese como un determinante de orde tres coas compoñentes dos tres vectores. Que saia distinto de cero é a proba de que as rectas se cruzan, e é o paso que sostén os apartados seguintes.

Ángulo entre dúas rectas

O ángulo entre dúas rectas, córtense ou se crucen, obtense coas súas direccións:

cos θ = |d1 · d2| / (|d1| · |d2|)

O valor absoluto do numerador non é un adorno. O produto escalar pode saír negativo segundo como estean orientadas as direccións, e o ángulo entre rectas tómase sempre o agudo, entre 0° e 90°. Sen ese valor absoluto pódese obter 120° cando a resposta correcta é 60°.

Distancia entre dúas rectas que se cruzan

Cando as rectas se cruzan, a distancia entre elas é a lonxitude do segmento da perpendicular común:

d(r, s) = |[d1, d2, AB]| / |d1 × d2|

No numerador vai o mesmo produto mixto que empregamos para a posición relativa, agora en valor absoluto; no denominador, o módulo do produto vectorial das dúas direccións. Ese produto vectorial dá tamén a dirección da recta perpendicular común, así que non hai que buscala por separado.

Exercicio orixinal, resolto

Aviso: o enunciado que vén despois é un exercicio orixinal, escrito para esta guía. Non pertence a ningunha convocatoria oficial nin reproduce o modelo da CiUG.

Enunciado. No espazo considéranse as rectas

r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t·(1, 0, 1)

s: (x, y, z) = (0, 0, 1) + u·(0, 1, 1)

a) Estuda a súa posición relativa.

b) Calcula o ángulo que forman.

c) Calcula a distancia entre elas e escribe unha recta que as corte perpendicularmente.

a) Posición relativa. As direccións son d1 = (1, 0, 1) e d2 = (0, 1, 1). Non son proporcionais, logo as rectas non son paralelas. Tomamos A = (1, 2, 3) na recta r e B = (0, 0, 1) na recta s; entón AB = (-1, -2, -2). O produto mixto é o determinante

| 1 0 1 |

| 0 1 1 |

| -1 -2 -2 |

que vale 1·(1·(-2) - 1·(-2)) - 0·(0·(-2) - 1·(-1)) + 1·(0·(-2) - 1·(-1)) = 0 + 0 + 1 = 1.

Como o produto mixto non é cero, as rectas non están no mesmo plano: crúzanse.

b) Ángulo. O produto escalar d1 · d2 = 1·0 + 0·1 + 1·1 = 1, e os módulos son |d1| = |d2| = √2. Entón

cos θ = 1 / (√2 · √2) = 1/2,

e polo tanto θ = 60°.

c) Distancia e perpendicular común. O produto vectorial é d1 × d2 = (-1, -1, 1), cun módulo |d1 × d2| = √3. Aplicando a fórmula,

d(r, s) = |1| / √3 = √3/3 ≈ 0,58 unidades.

A recta perpendicular común ten a dirección (-1, -1, 1). Para situala hai que buscar o punto da recta r e o punto da recta s que están máis preto. Impoñendo que o vector que os une sexa perpendicular ás dúas direccións obtense t = -2/3 e u = 5/3, é dicir, A’ = (1/3, 2, 7/3) na recta r e B’ = (0, 5/3, 8/3) na recta s. A perpendicular común é

(x, y, z) = (1/3, 2, 7/3) + λ·(-1, -1, 1).

Comprobación: B’ - A’ = (-1/3, -1/3, 1/3), que é proporcional a (-1, -1, 1), e o seu módulo é √(1/9 + 1/9 + 1/9) = √3/3, a mesma distancia calculada antes.

Como revisar o resultado antes de entregar

Tres comprobacións rápidas que detectan os fallos de signo e de fórmula:

• Se a distancia sae cero, as rectas córtanse nun punto e non se cruzan: revisa o produto mixto.
• O ángulo entre dúas rectas non pasa nunca de 90°. Un resultado de 120° indica que faltou o valor absoluto no produto escalar.
• A dirección da perpendicular común ten que ser perpendicular ás dúas direccións. Compróbao cun produto escalar: se non dá cero, hai un erro de signo nalgún dos dous puntos.

E se o enunciado pide só a distancia, non hai que atopar a perpendicular común: co cociente entre o produto mixto e o módulo do produto vectorial abonda.

Preguntas frecuentes

Cantas preguntas ten o exame de Matemáticas II en Galicia?

O exame consta de catro preguntas de resposta obrigatoria, unha por bloque, cun total de oito exercicios dos que hai que resolver cinco; cada un valora como máximo dous puntos.

Que se escolle na pregunta 4?

Na pregunta 4 hai dous apartados, o 4.1 e o 4.2, e só se responde un. Se se contestan os dous, só se valora o primeiro que se realice.

Pódese usar calculadora na PAU de Matemáticas II de Galicia?

Si, pero só unha calculadora científica non programable e sen capacidade gráfica. Aínda que a uses, cada resposta hai que xustificala.

Practica agora

Neste bloque convén traballar con tempo e comparar despois coas solucións. Tes o arquivo de exames de Galicia para ver enunciados reais e a guía dos catro bloques para situala xunto ao resto da proba. Se queres repasar antes a parte xeral de rectas e planos, a guía de xeometría no espazo é o punto de partida.

Tamén podes adestrar cunha mostra gratuíta de Matemáticas II, que che dá unha idea de como está montado o material.

Se queres o temario completo de Matemáticas II de Galicia, co material, os exercicios e os criterios oficiais á vista, está no curso de Matemáticas II para a ABAU de Galicia, a 12 € a asignatura e cun prazo de devolución de 14 días.