Distribución xeométrica: espera ata o primeiro éxito

«Cantos éxitos hai en dez intentos?» e «en que intento chega o primeiro éxito?» non definen a mesma variable. A primeira pregunta fixa o número de intentos; a segunda detén o proceso cando ocorre un resultado. Confundilas pode producir unha fórmula coñecida aplicada á pregunta equivocada.

Esta é unha actividade de ampliación de probabilidade. Non se afirma que a distribución xeométrica forme parte de todas as convocatorias de PAU. Os exercicios son modelos matemáticos orixinais para aprender a definir variables, interpretar desigualdades e comprobar independencia; non son predicións sobre resultados de persoas reais.

Declara cando se detén o experimento

No modelo xeométrico que usaremos, cada intento é independente dos anteriores e ten a mesma probabilidade p de éxito, con 0 < p < 1. Definimos X como o número do intento no que aparece o primeiro éxito: X toma valores 1, 2, 3 e así sucesivamente.

Para que X = k, deben ocorrer k − 1 fracasos e despois un éxito. Polo tanto, P(X = k) = (1 − p)^(k − 1)·p. A referencia académica é OpenStax: distribución xeométrica. Aquí derivaremos cada cálculo a partir da secuencia concreta.

«Éxito» é só o nome do evento que fai parar o reconto. Pode ser unha luz verde nun dispositivo simulado; non significa necesariamente algo bo nin unha habilidade adquirida por unha persoa.

Primeiro exercicio: primeiro sinal no cuarto intento

Un simulador produce de maneira independente un sinal verde cunha probabilidade 0,25 en cada activación. Detense no primeiro verde. Calcula a probabilidade de que se deteña exactamente na cuarta activación.

A secuencia necesaria é non verde, non verde, non verde, verde. Como q = 0,75, multiplicamos 0,75³·0,25 = 0,10546875. É aproximadamente o 10,55 %.

Non multiplicamos por un coeficiente combinatorio. A posición do único verde xa está fixada: debe ser a cuarta, e antes non pode haber outro. Nun reconto binomial de exactamente un verde en catro activacións podería aparecer en calquera das catro posicións, polo que sería outra pregunta.

Tampouco usamos 0,25⁴. Ese produto describiría catro verdes consecutivos, non tres fracasos e un éxito. Escribir a secuencia con palabras antes de calcular evita ambos os erros.

Segundo exercicio: antes, ata e despois

Co mesmo simulador, calcula a probabilidade de obter o primeiro verde como moi tarde na cuarta activación.

O evento é X ≤ 4. O seu complementario é non obter ningún verde nas primeiras catro activacións, isto é, X > 4. Así, P(X ≤ 4) = 1 − 0,75⁴ = 0,68359375, aproximadamente o 68,36 %.

Se a pregunta di «antes da cuarta», o evento é X < 4: só inclúe as posicións 1, 2 e 3. Agora a resposta é 1 − 0,75³ = 0,578125, aproximadamente o 57,81 %. A cuarta activación xa non conta.

Se pide «polo menos catro activacións», o evento é X ≥ 4. Basta con que as primeiras tres sexan fracasos: P(X ≥ 4) = 0,75³ = 0,421875. Pode haber éxito na cuarta ou máis tarde. Non confundas esta expresión con X > 4, que require catro fracasos iniciais.

Terceiro exercicio: cantos intentos permiten superar o 90 %?

Queremos que a probabilidade de observar polo menos un verde dentro dun máximo de n activacións sexa como mínimo 0,90. O modelo segue tendo p = 0,25 e independencia.

A condición é 1 − 0,75^n ≥ 0,90, equivalente a 0,75^n ≤ 0,10. Ao aplicar logaritmos e dividir por ln(0,75), que é negativo, cambia o sentido da desigualdade: n ≥ ln(0,10)/ln(0,75), aproximadamente 8,004.

O mínimo enteiro é 9. Comprobamos os dous valores veciños: con 8 activacións a probabilidade é aproximadamente 0,899887, aínda menor de 0,90; con 9, aproximadamente 0,924915, xa cumpre.

Esta comprobación mostra por que arredondar 8,004 a 8 non resolve a condición. Non buscamos o enteiro máis próximo, senón o menor enteiro que satisfai a desigualdade.

Cuarto exercicio: cinco fracasos non crean unha débeda

Xa observamos cinco activacións sen verde. Baixo o mesmo modelo independente, calcula a probabilidade de ter un verde nas dúas activacións seguintes.

As dúas activacións futuras seguen tendo p = 0,25 cada unha. A probabilidade pedida é 1 − 0,75² = 0,4375. Non aumenta porque «xa toca»; tampouco diminúe porque o simulador «leva unha mala serie».

Pódese escribir como P(X ≤ 7 | X > 5). O numerador do cociente condicional é 0,75⁵·(1 − 0,75²), e o denominador 0,75⁵. Ao simplificar queda a mesma resposta. A memoria ausente é unha propiedade do modelo, non unha afirmación universal sobre calquera proceso real.

Se o dispositivo se deteriora ou modifica a probabilidade despois dun fallo, o suposto cambia. Se unha persoa aprende entre intentos, tampouco podemos impoñer p constante sen xustificación.

Intentos e fracasos son dúas variables distintas

Para X, que inclúe o intento exitoso, a esperanza é E(X) = 1/p = 4. Non garante que o éxito chegue na cuarta activación nin que todos os experimentos duren catro intentos. É unha media teórica.

Se Y conta só os fracasos anteriores ao primeiro éxito, Y = X − 1 e E(Y) = 3. O mesmo experimento pode describirse con ambas as variables, pero as fórmulas e o primeiro valor posible cambian: X comeza en 1 e Y en 0.

A práctica binomial conta éxitos cun número de intentos fixado. Aquí o que varía é a espera ata o primeiro. Comparar as preguntas é máis útil que memorizar dous nomes sen definir as variables.

Preguntas frecuentes

Por que non hai un coeficiente combinatorio en P(X = k)?

Porque a orde xa está fixada: k − 1 fracasos seguidos dun éxito. Non estamos escollendo libremente a posición do éxito.

Antes do cuarto intento significa ata o cuarto incluído?

Non. X < 4 inclúe 1, 2 e 3; X ≤ 4 tamén inclúe a cuarta posición. Esa diferenza cambia o cálculo.

Tras varios fracasos aumenta a probabilidade do seguinte éxito?

Non baixo este modelo independente con p constante. Se esas condicións non se cumpren, hai que estudar outro modelo.

Escolle a variable antes da fórmula

Anota na libreta de erros as catro expresións X = 4, X < 4, X ≤ 4 e X ≥ 4 coa secuencia que representa cada unha. Para organizar o resto da materia, consulta o curso de Matemáticas II para Galicia, dispoñible para compra, e compara a ficha co teu plan; esta actividade conserva o seu carácter de ampliación.