Ecuacións logarítmicas: dominio e raíces espurias

Unha ecuación pode levarte a dúas raíces dunha cuadrática e aceptar só unha. Pero non porque «os logaritmos non admiten números negativos» signifique que a incógnita nunca poida ser negativa. O que debe ser positivo é cada argumento do logaritmo real. Se o argumento é x², unha incógnita negativa pode producir un valor positivo perfectamente válido.

Esta práctica de álxebra traballa con problemas orixinais e solucións completas. Non describe unha pregunta oficial nin atribúe unha frecuencia de aparición á PAU. Serve para revisar un control que tamén necesitarás cando estudes funcións: conservar o dominio da expresión inicial durante todas as transformacións.

Separa dominio, candidatos e solucións

Traballaremos con logaritmos reais de base positiva distinta de 1. Antes de operar, escribe as desigualdades que fan positivos todos os argumentos. Despois resolve a ecuación transformada. Finalmente, comproba os candidatos na expresión orixinal.

A referencia de OpenStax sobre ecuacións exponenciais e logarítmicas presenta a definición e a inxectividade do logaritmo. Aquí utilizaremos esas ferramentas en exemplos propios. Unha transformación só conserva equivalencia no dominio onde as expresións están definidas.

Non confundas «candidato obtido ao resolver» con «solución aceptada». Esa distinción permite localizar o paso no que entrou un valor que non satisfai as condicións iniciais.

Primeiro exercicio: dous factores positivos por separado

Resolve, nos reais, ln(x − 2) + ln(x + 1) = ln 10.

O dominio esixe x − 2 > 0 e x + 1 > 0. A intersección é x > 2. Só dentro dese dominio podemos reunir os dous logaritmos como ln[(x − 2)(x + 1)].

Pola inxectividade, (x − 2)(x + 1) = 10. Ao desenvolver: x² − x − 2 = 10; por tanto, x² − x − 12 = 0. Factorizamos como (x − 4)(x + 3) = 0 e obtemos os candidatos 4 e −3.

Aceptamos x = 4: os argumentos son 2 e 5, e ln 2 + ln 5 = ln 10. Rexeitamos x = −3: os argumentos iniciais serían −5 e −2, que non teñen logaritmo real.

Observa o detalle decisivo: o produto (−5)(−2) é 10 e si ten logaritmo. Pero a expresión inicial contén dous logaritmos separados. O dominio do produto non substitúe o dominio de cada argumento. Esta é a razón concreta da raíz espuria.

Segundo exercicio: unha solución negativa válida

Resolve ln(x²) = ln(3x + 10).

Agora o dominio é x ≠ 0 e x > −10/3. Non esixe x > 0. Igualamos argumentos: x² = 3x + 10. A cuadrática x² − 3x − 10 = 0 factoriza como (x − 5)(x + 2) = 0.

Os candidatos son x = 5 e x = −2. Ambos pertencen ao dominio. Para x = 5, os argumentos valen 25; para x = −2, ambos valen 4. Polo tanto, as dúas solucións son válidas.

Se eliminaches −2 só polo signo da incógnita, aplicaches unha regra diferente da condición real. A comprobación ten que mirar x² e 3x + 10, non o signo de x illado.

Tampouco podemos substituír sen máis ln(x²) por 2 ln x en todo ese dominio. Esa última expresión require x > 0. Para x ≠ 0, a identidade real adecuada é ln(x²) = 2 ln|x|. Introducir 2 ln x eliminaría indebidamente a solución negativa.

Terceiro exercicio: o cociente e a expresión inicial

Resolve ln(x + 4) − ln(x − 1) = ln 2.

Primeiro: x + 4 > 0 e x − 1 > 0, de modo que x > 1. Reunimos os logaritmos: ln[(x + 4)/(x − 1)] = ln 2. Igualamos argumentos e resolvemos x + 4 = 2(x − 1).

Obtemos x = 6. A comprobación dá ln 10 − ln 5 = ln 2, así que a solución é válida.

Unha persoa que comece directamente polo cociente pode estudar un dominio máis amplo ca o da expresión inicial. Por exemplo, con x < −4, numerador e denominador serían negativos e o cociente positivo, pero os logaritmos separados seguirían sen existir nos reais. Neste exercicio ese problema non produce outra raíz, mais o control continúa sendo necesario.

Non agardes a que unha errada xere un número falso para corrixir o método. Un procedemento pode dar casualmente a resposta correcta e seguir sendo incapaz de xustificala.

Cuarto exercicio: variable tamén na base

Como ampliación de álxebra, resolve log de base x de 16 = 2, entendendo logaritmos reais.

Ademais do argumento 16 > 0, a base require x > 0 e x ≠ 1. A definición leva a x² = 16, cuxos candidatos algebraicos son 4 e −4.

Aceptamos só x = 4. A base −4 non é admisible no marco dos logaritmos reais empregado. A comprobación é 4² = 16 e 4 cumpre as condicións da base.

A comparación co segundo exercicio é instrutiva. Alí −2 era unha incógnita que producía argumentos positivos cunha base fixa válida. Aquí −4 sería a propia base. O signo non decide por si só: importa o papel da variable na expresión.

Unha resposta que se pode revisar

Organiza a solución en tres liñas visibles: dominio, candidatos e conxunto solución. No primeiro problema escribirías dominio x > 2; candidatos {4, −3}; solución {4}. Esa estrutura deixa claro que non esqueciches unha raíz: descartáchela cunha condición concreta.

A guía de límites e derivadas relaciona o dominio co estudo de funcións. Esta práctica céntrase en ecuacións e comprobación de equivalencias, non en substituír o cálculo de derivadas por regras de memoria.

Na libreta de erros, anota o primeiro argumento que falla en cada candidato rexeitado. «Non vale» é menos útil que «x − 2 = −5, que non é positivo».

Preguntas frecuentes

A incógnita debe ser sempre positiva nunha ecuación logarítmica?

Non. Deben ser positivos os argumentos dos logaritmos reais. Un valor negativo de x pode producir argumentos positivos, como no segundo exercicio.

Podo comprobar só a ecuación final sen logaritmos?

Non abonda. Un candidato pode resolver a ecuación transformada e quedar fóra do dominio da expresión orixinal.

Ln(x²) é sempre igual a 2 ln x?

Non no dominio real completo de ln(x²). Para x ≠ 0, a identidade é 2 ln|x|; 2 ln x require x > 0.

Fai visible a condición que decide

Resolve de novo o primeiro problema sen mirar a solución e explica por que o produto positivo non salva os argumentos negativos. Cando poidas xustificalo, consulta o curso de Matemáticas II para Galicia, dispoñible para compra, e comproba que contidos encaixan coas dificultades concretas do teu repaso.