Valor medio de una función: integrales y ejercicios PAU

El valor medio de una función responde a una pregunta diferente de «¿cuánto vale la integral?». Busca qué altura constante produciría la misma acumulación en el intervalo. Olvidar dividir por su longitud cambia tanto el número como su interpretación.

Estos tres ejercicios originales entrenan un promedio polinómico, una función que cambia de signo y una media por tramos de distinta duración. No son modelos oficiales. Usamos funciones integrables y, cuando buscamos un punto que alcance el promedio, comprobamos las condiciones que permiten esperar su existencia.

Del total al promedio

Para a < b, el valor medio de f en [a,b] es fmedia = [1/(b − a)] ∫ de a a b f(x) dx. El denominador es la longitud del intervalo, no su extremo superior salvo que a sea cero.

Si f representa temperatura y x representa tiempo, la integral tiene unidades de temperatura por tiempo. Dividir por el tiempo devuelve una temperatura. Esta comprobación de unidades permite detectar que has entregado un total cuando se pedía una media.

Para una función continua en un intervalo cerrado, el promedio queda entre su mínimo y su máximo y se alcanza en al menos un punto del intervalo. Encontrar ese punto es un apartado posterior: primero calcula la media, después resuelve f(c) = fmedia.

Ejercicio 1: promedio de una función cuadrática

Enunciado. Calcula el valor medio de f(x) = x² + 2 en [1,4]. Encuentra un punto c del intervalo donde la función alcance ese valor y compáralo con la media de los extremos.

Paso 1: intervalo. Su longitud es 4 − 1 = 3. No dividimos por cuatro.

Paso 2: primitiva. Una primitiva es F(x) = x³/3 + 2x. Al evaluar, F(4) = 64/3 + 8 = 88/3 y F(1) = 1/3 + 2 = 7/3. La integral vale 81/3 = 27.

Paso 3: promedio. fmedia = 27/3 = 9. La función toma valores desde f(1) = 3 hasta f(4) = 18, así que nueve está dentro del rango esperado.

Paso 4: punto. Resuelve c² + 2 = 9: c = ±√7. Solo c = √7 ≈ 2,646 pertenece a [1,4]. La raíz negativa satisface la ecuación algebraica, pero no la condición del intervalo.

Paso 5: comparación. La media de los extremos es (3 + 18)/2 = 10,5, distinta de nueve. Promediar dos muestras no equivale a promediar todos los valores de una curva no lineal. Tampoco f(2,5), el valor en el punto medio, coincide aquí con la media: vale 8,25.

Ejercicio 2: una media nula no significa ausencia de área

Enunciado. Sea g(x) = 2x − 6 en [1,5]. Calcula su valor medio y el área geométrica entre la gráfica y el eje horizontal.

Paso 1: integral. Una primitiva es x² − 6x. En cinco vale −5 y en uno vale −5. La integral es cero, por lo que gmedia = 0/(5 − 1) = 0.

Paso 2: punto que alcanza la media. 2c − 6 = 0 da c = 3, dentro del intervalo.

Paso 3: área. La función cruza el eje en tres. Entre uno y tres forma un triángulo de base dos y altura cuatro, con área cuatro. Entre tres y cinco forma otro triángulo igual. El área total es 8 unidades cuadradas.

La integral algebraica cancela la zona negativa con la positiva. El área suma ambas magnitudes. Si cambias el signo de una parte para calcular el promedio, estarías promediando |g|, otra función. Su valor medio sería 8/4 = 2, no cero.

Este contraste explica por qué no puedes aplicar automáticamente una receta de áreas a cualquier integral. Lee la magnitud pedida y escribe si quieres acumulación algebraica, acumulación de módulos o promedio.

Ejercicio 3: media ponderada por duración

Enunciado. Un modelo de temperatura mantiene 18 °C durante las primeras dos horas y 24 °C durante las tres siguientes. Calcula la temperatura media de esas cinco horas. Compara con (18 + 24)/2.

Paso 1: acumulaciones. El primer tramo aporta 18 × 2 = 36 °C·h y el segundo, 24 × 3 = 72 °C·h.

Paso 2: suma y divide. El total es 108 °C·h durante cinco horas. La temperatura media es 21,6 °C.

Paso 3: comparación. La media simple de las dos temperaturas es 21 °C. No es correcta para esta pregunta porque da el mismo peso a un tramo de dos horas que a otro de tres.

La función idealizada tiene un salto, pero sigue siendo integrable. En este caso el promedio 21,6 °C ni siquiera es un valor tomado por la función, que solo vale 18 o 24. Esto no contradice la propiedad anterior: allí se exigía continuidad.

Une medias sin perder sus pesos

Si conoces las medias m₁ y m₂ en intervalos de longitudes L₁ y L₂, la media conjunta es (m₁L₁ + m₂L₂)/(L₁ + L₂). La fórmula sale de sumar las dos integrales. No hace falta memorizarla como un caso desconectado: cada producto recupera la acumulación de su tramo.

Como comprobación adicional del tercer ejercicio, 21,6 está más cerca de 24 que de 18, coherente con que la temperatura alta dura más. El resultado debe quedar entre ambas temperaturas; salir de ese intervalo señalaría una operación mal planteada.

Pauta de revisión en cuatro líneas

Indica intervalo, integral, longitud y resultado interpretado. Si buscas un punto c, sustituye las soluciones en el dominio antes de aceptarlas. Si hay unidades, consérvalas hasta el final; si la función es puramente matemática, no inventes grados ni metros para decorar la respuesta.

Para situar esta práctica en el bloque, consulta el artículo relacionado de Matemáticas II. Puedes repasar las expresiones y el vocabulario con el recurso gratuito de Matemáticas II; es una ayuda de estudio, no material autorizado automáticamente para llevar al examen.

Referencia conceptual en inglés: OpenStax, apartado 1. Los datos y desarrollos de los ejercicios son originales de redbachiller.

Preguntas frecuentes

¿El valor medio es la media de los valores de los extremos?

Esa coincidencia se cumple para una función afín, pero no para cualquier función. El promedio continuo se calcula integrando y dividiendo por la longitud del intervalo.

¿Qué diferencia hay entre integral y valor medio?

La integral acumula valores sobre el intervalo. El valor medio divide esa acumulación por la longitud del intervalo y conserva las unidades de la función original.

¿Se toma valor absoluto cuando la función es negativa?

No si se pide su valor medio algebraico. El valor absoluto corresponde a otra pregunta, como el área geométrica o la rapidez media obtenida a partir de una velocidad con cambios de sentido.

Practica el siguiente problema con un criterio claro

Resuelve de nuevo uno de los casos cambiando un dato y explica qué parte del procedimiento permanece igual. Comprueba el resultado con las condiciones del modelo y anota el primer paso que necesitarías revisar, en lugar de repetir únicamente el número final.

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