Tubos sonoros: extremos, resonancias y armónicos

Un tubo abierto por ambos extremos y otro cerrado por uno no admiten la misma serie de resonancias. La diferencia se entiende fijando qué puede hacer el aire en los extremos. Antes de elegir una fórmula, identifica si el dibujo representa desplazamiento de las partículas o variación de presión: sus nodos y vientres están intercambiados.

Estos ejercicios originales son una ampliación de ondas estacionarias. No se presupone que las columnas de aire formen parte del programa de todas las comunidades. Usamos tubos ideales, extremos perfectamente abiertos o cerrados, sección uniforme, amplitudes pequeñas y una rapidez del sonido dada. Despreciamos pérdidas y correcciones de longitud en los extremos.

Empieza por la condición física

En un extremo rígido cerrado, el aire no puede desplazarse longitudinalmente a través de la pared. Allí hay un nodo de desplazamiento. En un extremo abierto ideal, la variación de presión respecto al ambiente es aproximadamente cero: es un nodo de presión y un vientre de desplazamiento.

Por tanto, un tubo abierto-cerrado tiene condiciones diferentes en sus extremos. En el modo fundamental cabe un cuarto de longitud de onda: L = λ₁/4. Las siguientes configuraciones permitidas añaden medios de longitud de onda: L = 3λ/4, 5λ/4 y así sucesivamente.

En un tubo abierto-abierto hay vientres de desplazamiento en ambos extremos. El modo fundamental contiene media longitud de onda, L = λ₁/2. Se permiten todos los múltiplos enteros de su frecuencia fundamental.

El capítulo de OpenStax sobre modos sonoros desarrolla estas condiciones. Los números y comparaciones de esta página son originales.

Fórmulas con el índice correcto

Para abierto-abierto, fₙ = n v/(2L), con n = 1, 2, 3… Para abierto-cerrado, fₙ = n v/(4L), pero solo n = 1, 3, 5…

La frecuencia fundamental es la menor permitida. El primer sobretono es la siguiente frecuencia permitida por encima de ella. En el abierto-cerrado, el primer sobretono es el tercer armónico, no el segundo. La palabra sobretono cuenta posiciones dentro de la lista; armónico cuenta múltiplos de la fundamental.

No escribas n = 2 dentro de la expresión del tubo abierto-cerrado para generar una resonancia que sus condiciones no permiten.

Ejercicio 1: mismo tubo, cambia un extremo

Enunciado. Un tubo de longitud 0,850 m contiene aire con v = 340 m/s. Calcula sus tres primeras resonancias si está abierto por ambos extremos y si se cierra uno.

Paso 1. Abierto-abierto. f₁ = 340/(2 × 0,850) = 200 Hz. Las siguientes resonancias son 400 Hz y 600 Hz.

Paso 2. Abierto-cerrado. f₁ = 340/(4 × 0,850) = 100 Hz. Las siguientes son 3f₁ = 300 Hz y 5f₁ = 500 Hz.

Paso 3. Comprueba con longitudes de onda. En el primer caso, λ₁ = 1,70 m y L es su mitad. En el segundo, λ₁ = 3,40 m y L es su cuarta parte.

Cerrar un extremo reduce a la mitad la fundamental dentro de este modelo y cambia la serie permitida. No convierte simplemente todas las resonancias anteriores en la mitad: 200, 400 y 600 no pasan a 100, 200 y 300 porque el modo de 200 Hz ya no cumple las nuevas condiciones.

Ejercicio 2: identifica qué significa una lista

Enunciado. Se indica que las tres primeras resonancias de un tubo ideal son 150, 450 y 750 Hz. Decide qué modelo corresponde y calcula su longitud para v = 330 m/s.

Paso 1. Razones. Son 1, 3 y 5 veces 150 Hz. Bajo la afirmación de que son las primeras resonancias, el patrón corresponde al abierto-cerrado.

Paso 2. Fundamental. f₁ = 150 Hz, por lo que L = 330/(4 × 150) = 0,550 m.

Paso 3. Verificación. La longitud de onda fundamental es 330/150 = 2,20 m, y su cuarto mide 0,550 m. Para 450 Hz, λ = 0,7333 m y 3λ/4 vuelve a dar 0,550 m.

La palabra primeras importa. Si solo se hubieran detectado tres picos, sin garantizar que no faltan otros, la lista no bastaría para clasificar de forma única el tubo. Un abierto-abierto de fundamental 150 Hz también admite los armónicos 1, 3 y 5; podría ocurrir que los pares no se hubieran registrado.

La ausencia de una señal en un registro no equivale automáticamente a un modo físicamente prohibido. El enunciado debe aclarar si describe el espectro completo o una selección de picos.

Ejercicio 3: dos longitudes que comparten fundamental

Enunciado. Un tubo abierto-cerrado mide 0,600 m. ¿Qué longitud debe tener otro abierto-abierto, en el mismo aire, para compartir su frecuencia fundamental? Usa v = 336 m/s y comprueba sus siguientes resonancias.

Paso 1. Tubo inicial. f₁ = 336/(4 × 0,600) = 140 Hz.

Paso 2. Igualdad. Para el abierto-abierto, 140 = 336/(2L). Despejamos L = 336/280 = 1,20 m.

Paso 3. Compara series. El abierto-cerrado admite 140, 420, 700, 980 Hz… El abierto-abierto admite 140, 280, 420, 560, 700 Hz…

Comparten la fundamental y algunos modos superiores, pero no todas sus resonancias. La condición de extremos sigue siendo distinta aunque dos instrumentos produzcan una nota fundamental igual.

La rapidez se cancela al igualar v/(4Lc) y v/(2La), siempre que ambos tubos contengan el mismo medio en las mismas condiciones. Se obtiene La = 2Lc. Si las rapideces fueran diferentes, esa relación geométrica ya no sería suficiente.

Ejercicio 4: cambia la rapidez, no la longitud

Un tubo abierto-abierto conserva L = 0,800 m. En una condición del aire v vale 320 m/s y en otra 344 m/s. Sin atribuir estos valores a temperaturas concretas, calcula cómo cambia la fundamental.

Primero f₁ = 320/1,600 = 200 Hz. Después f₁ = 344/1,600 = 215 Hz. El aumento relativo es 15/200 × 100 = 7,50 %, igual al aumento relativo de la rapidez.

La longitud de onda de cada modo permanece fijada por la geometría ideal: para el fundamental sigue siendo 1,600 m. Cambia la frecuencia necesaria para que v = λf. No multipliques también la longitud de onda por 1,075, porque contarías dos veces el cambio.

Comprueba qué magnitud tiene un nodo

Si dibujas una curva de desplazamiento, marca nodo en el extremo cerrado y vientre en el abierto. Si dibujas presión, invierte esas etiquetas. Una curva sin leyenda puede hacer que dos dibujos correctos parezcan contradictorios.

Para conectar estos modos con propagación y fase, consulta la guía de ondas y óptica. El formulario de Física ayuda a ordenar magnitudes, aunque no acredita que pueda llevarse al examen.

Preguntas frecuentes

¿El primer sobretono siempre es el segundo armónico?

No. En el tubo ideal abierto por un extremo y cerrado por otro, el primer sobretono corresponde al tercer armónico.

¿Qué nodo hay en el extremo cerrado?

Hay un nodo de desplazamiento del aire y un vientre de variación de presión. Hay que indicar qué magnitud representa el dibujo.

¿Tres picos con razones 1, 3 y 5 prueban un tubo abierto-cerrado?

Solo bajo información adicional, como que sean sus tres primeras resonancias permitidas. Si pueden faltar picos observados, también podrían ser una selección de modos de otro sistema.

Dibuja los extremos antes de numerar los armónicos

Escribe la condición de cada extremo, dibuja el modo más sencillo y solo entonces genera la serie. Ese orden evita confundir el primer sobretono con el segundo armónico. Para continuar con ondas y otros bloques, consulta Física de Cataluña: su ficha muestra contenidos, precio y compra disponibles. Verifica el alcance del temario de tu comunidad antes de tratar esta ampliación como contenido exigido.