Volume do tetraedro: produto mixto e parámetro PAU

O produto mixto transforma tres vectores nun número. O seu valor absoluto mide o volume do paralelepípedo que forman; para un tetraedro construído cos mesmos tres vectores, cómpre dividir entre seis. Confundir ambos sólidos produce unha resposta seis veces maior, aínda que o determinante estea calculado correctamente.

Nesta práctica usamos coordenadas e datos orixinais. O obxectivo é relacionar determinante, volume, orientación e coplanaridade nun mesmo modelo. Non son exercicios dunha convocatoria oficial nin unha predición do que aparecerá nun exame.

Escolle unha orixe común para os tres vectores

Dados catro vértices A, B, C e D, escollemos A como punto de referencia e construímos u=B−A, v=C−A e w=D−A. O volume é V=|u·(v×w)|/6. Tamén podemos calcular |(u×v)·w|/6: ambas expresións dan o mesmo produto mixto.

As coordenadas dos puntos non son automaticamente os vectores que necesitamos. Se A non é a orixe, empregar B, C e D directamente cambia o sólido. A resta inicial merece unha liña propia na resolución.

O determinante conserva un signo que informa da orientación da terna ordenada. Un volume xeométrico non é negativo: tomamos o valor absoluto antes de dividir entre seis. Se as coordenadas están en centímetros, o resultado estará en centímetros cúbicos.

Primeiro exercicio: calcula o volume e comproba o factor seis

Considera A=(1,0,0), B=(3,1,0), C=(1,2,1) e D=(2,1,4), con coordenadas en centímetros. Os vectores que parten de A son u=(2,1,0), v=(0,2,1) e w=(1,1,4).

Calculamos primeiro u×v. A primeira compoñente é 1·1−0·2=1; a segunda é 0·0−2·1=−2; a terceira é 2·2−1·0=4. Polo tanto, u×v=(1,−2,4).

O produto escalar con w vale 1·1−2·1+4·4=15. O paralelepípedo asociado ten volume 15 cm³, mentres que o tetraedro pedido ten V=15/6=2,5 cm³. Escribe o nome do sólido xunto a cada resultado para non intercambialos.

Podemos comprobar o cálculo cun determinante de filas (2,1,0), (0,2,1) e (1,1,4). Desenvolvendo pola primeira fila obtemos 2(8−1)−1(0−1)=14+1=15. É unha comprobación do cálculo, aínda que utiliza a mesma identidade algebraica.

Outra comprobación máis xeométrica emprega a área da base e a altura. A norma de u×v é √21, así que a área do triángulo ABC é √21/2. O plano da base é x−2y+4z−1=0. A distancia de D a ese plano é 15/√21.

A fórmula dun tetraedro como pirámide dá V=(1/3)(√21/2)(15/√21)=2,5 cm³. Aquí aparecen dous factores diferentes: un medio pola base triangular e un terzo pola pirámide. Xuntos explican o sexto da fórmula inicial.

Segundo exercicio: cambia a orde dos vértices

Mantén os mesmos puntos, pero intercambia B e C na escritura do determinante. Agora o primeiro produto vectorial é v×u=−(u×v)=(−1,2,−4). O produto mixto pasa a valer −15.

O tetraedro non cambiou: contén exactamente os mesmos catro vértices. O seu volume segue sendo |−15|/6=2,5 cm³. Cambiou a orientación da terna, non a cantidade de espazo que ocupa o sólido.

Este exemplo permite detectar unha resposta problemática. Se dúas persoas usan unha orde distinta e obteñen determinantes opostos, ambas poden ter o cálculo correcto. Se unha delas entrega un volume negativo, falta o valor absoluto.

Unha permutación que intercambia dous vectores cambia o signo. En cambio, unha rotación cíclica da terna conserva o produto mixto. Non necesitas memorizar todas as permutacións para calcular un volume: escolle unha orde, mantena e distingue o número orientado do resultado xeométrico.

Terceiro exercicio: un vértice con parámetro

Conserva A, B e C e substitúe o cuarto punto por D=(2,1,t). Agora w=(1,1,t), mentres que u×v continúa sendo (1,−2,4). O produto mixto vale 1−2+4t=4t−1.

Para que o volume sexa 2,5 cm³, resolvemos |4t−1|/6=2,5. Isto equivale a |4t−1|=15 e produce dúas ecuacións: 4t−1=15 ou 4t−1=−15. As solucións son t=4 e t=−3,5.

Hai dous resultados porque os puntos poden quedar en lados opostos do plano da base coa mesma distancia perpendicular. O valor absoluto conserva o volume e elimina o signo que distinguiría esas posicións.

Se nos preguntan cando os catro puntos son coplanarios, resolvemos 4t−1=0. Obtemos t=0,25 e volume cero. A base ABC non é dexenerada, pois u×v non é nulo; por iso podemos interpretar o resultado como D situado no plano da base.

O que permite concluír un determinante nulo

Un produto mixto nulo indica dependencia lineal dos tres vectores. Para estes catro puntos significa que non forman un tetraedro con volume positivo. Pode haber un plano común, pero tamén unha configuración máis dexenerada, por exemplo puntos aliñados.

Se o produto vectorial dos dous primeiros vectores é cero, non podes construír unha normal non nula con esa parella. Iso non invalida o criterio de volume cero, pero si impide usar esa parella para escribir un plano mediante aquela normal.

Para conectar esta práctica co bloque completo, consulta o repaso de xeometría no espazo. Na libreta de erros podes separar erros de resta, determinante e interpretación do sólido.

Referencia conceptual: OpenStax, produto vectorial e produto mixto. As coordenadas e os desenvolvementos desta práctica son propios.

Preguntas frecuentes

Por que hai que dividir o produto mixto entre seis?

Porque o produto mixto mide o paralelepípedo asociado; o tetraedro cos tres vectores concorrentes ocupa a sexta parte dese volume.

Un determinante negativo dá un volume negativo?

Non. O signo expresa orientación; o volume obtense tomando o valor absoluto.

Un volume cero demostra que os catro puntos están nun plano?

Si, incluíndo configuracións dexeneradas como puntos aliñados; non garante que calquera terna deles determine un plano único.

Pecha a resolución coa interpretación xeométrica

Refai o terceiro exercicio pedindo volume 1 cm³ e comproba as dúas alturas resultantes respecto do plano da base. Despois calcula o valor do parámetro que anula o volume: esa comparación permite distinguir distancia, signo e coplanaridade.

Se necesitas organizar máis práctica, consulta a ficha de Matemáticas II para Galicia, onde podes comprobar contido, prezo e condicións actuais de compra. Esta actividade conceptual non substitúe as instrucións específicas da túa convocatoria.