Ecuacións trigonométricas: período, dominio e solucións

A calculadora devolve un valor principal, pero unha ecuación trigonométrica pode ter varias solucións nunha volta e infinitas solucións en todos os reais. Confundir ambas cousas produce respostas aparentemente precisas que deixan fóra ángulos válidos.

Esta práctica distingue resolver unha ecuación, restrinxir a solución a un intervalo e conservar o dominio durante unha transformación. Traballaremos en radiáns, salvo que se indique outra cousa. Non son preguntas oficiais: os tres problemas e os controis están preparados para estudar o razoamento.

O valor principal non é a solución completa

A función seno repite os seus valores cada 2π. Se α é un ángulo cun seno coñecido, π − α ten o mesmo seno; as familias completas engaden 2kπ, con k enteiro. Pode haber coincidencias entre familias en casos especiais, polo que non se deben contar automaticamente como distintas.

A tanxente ten período π e non está definida cando o coseno é cero. Resolver tan(x) = a require manter esa exclusión, aínda que unha identidade posterior pareza borrar o denominador.

A sección de ecuacións trigonométricas de OpenStax fundamenta a resolución mediante periodicidade e identidades. Aquí interesa tamén facer visible cada solución que se conserva ou se perde.

Non escribas k “real” nunha familia periódica. k percorre os enteiros: se permitísemos calquera valor real, cubriríamos ángulos que non resolven a ecuación.

Exercicio 1: un ángulo dobre cambia o período en x

Resolve sen(2x) = 1/2 para todos os reais e despois en 0 ≤ x < 2π.

Primeiro resolvemos para o argumento 2x. O seno vale 1/2 nos ángulos π/6 e 5π/6 dunha volta. Así:

2x = π/6 + 2kπ, ou 2x = 5π/6 + 2kπ.

Dividimos toda a igualdade entre dous:

x = π/12 + kπ, ou x = 5π/12 + kπ, con k enteiro.

No intervalo pedido, a primeira familia dá π/12 e 13π/12; a segunda dá 5π/12 e 17π/12. Son catro solucións. Todas pertencen a [0,2π) e os seus argumentos teñen seno 1/2.

Un erro frecuente consiste en escribir x = π/12 + 2kπ. Esa expresión divide o ángulo inicial pero non o termo periódico e perde unha solución de cada familia no intervalo.

Outro erro é introducir só π/12 porque a calculadora devolveu arcsen(1/2) = π/6. O valor principal axuda a obter un ángulo, pero non enumera todos os argumentos co mesmo seno.

O período da función sen(2x) é π respecto de x. Iso concorda co termo kπ obtido ao dividir. A comprobación de periodicidade serve como control independente da álxebra.

Exercicio 2: factorizar sen dividir por unha función que pode valer cero

Resolve 2sen²(x) − sen(x) = 0 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

Factorizamos:

sen(x) · [2sen(x) − 1] = 0.

Hai dúas posibilidades. A primeira é sen(x) = 0, que dá x = 0, π e 2π no intervalo pechado. A segunda é sen(x) = 1/2, que dá x = π/6 e 5π/6.

A solución completa é, polo tanto, 0, π/6, 5π/6, π e 2π. Podemos presentala ordenada para comprobar que non falta ningún extremo.

Se dividísemos de entrada entre sen(x), obteríamos 2sen(x) − 1 = 0 e perderíamos as tres solucións nas que sen(x) vale cero. A división non é equivalente sobre todo o dominio: precisamente exclúe unha das ramas que debemos estudar.

Neste exercicio os dous extremos están incluídos. Aínda que 0 e 2π representen a mesma dirección na circunferencia, son dous números reais distintos pertencentes ao intervalo solicitado. Se a pregunta fose [0,2π), o segundo quedaría excluído.

A comprobación substituíndo é sinxela: cando o seno é cero, ambos termos son cero; cando é 1/2, 2·(1/4) − 1/2 tamén é cero. Non necesitamos aproximacións decimais para verificar estas solucións exactas.

Exercicio 3: unha identidade non elimina o dominio orixinal

Resolve tan(x)·cos(x) = 1 en todos os reais.

O dominio orixinal esixe cos(x) ≠ 0 porque aparece tan(x). Dentro dese dominio, tan(x) = sen(x)/cos(x), e podemos simplificar o produto a sen(x).

A ecuación transformada é sen(x) = 1. Os seus candidatos son x = π/2 + 2kπ. Porén, todos teñen cos(x) = 0 e quedan fóra do dominio orixinal.

A conclusión é que a ecuación inicial non ten solución real. A ecuación simplificada si tiña solucións, pero a simplificación só era válida onde a tanxente estaba definida.

Non digas que infinito multiplicado por cero vale un ou que existe unha cancelación no punto excluído. A expresión orixinal non ten valor neses puntos. Un límite, se se estudase, sería unha pregunta diferente da igualdade entre valores dunha función.

Este problema mostra por que a orde importa: primeiro anotamos o dominio, despois transformamos e finalmente filtramos candidatos. Unha operación correcta dentro dun dominio non autoriza amplialo sen explicación.

Unha pauta de autocorrección

En cada solución escribe catro liñas: unidade angular, dominio, familias xerais e filtrado polo intervalo. A substitución final detecta candidatos engadidos, pero non sempre revela solucións perdidas por unha división; por iso tamén debes revisar as operacións.

Para conectar co estudo de funcións, consulta Matemáticas II para Galicia. Na libreta de erros, separa “falta unha familia”, “período mal dividido” e “candidato fóra do dominio”. Requiren correccións diferentes.

Preguntas frecuentes

Arcsen devolve todas as solucións dunha ecuación de seno?

Non. Devolve un valor principal; despois cómpre considerar os ángulos co mesmo seno e a periodicidade.

Podo dividir sempre unha ecuación entre sen(x)?

Non. Se sen(x) pode valer cero, a división exclúe eses candidatos e hai que estudalos por separado.

Unha simplificación permite aceptar puntos onde a expresión inicial non existe?

Non. Os candidatos deben pertencer ao dominio orixinal, aínda que a expresión simplificada teña valor neles.

Escribe as familias antes de escoller os ángulos

Refai o primeiro exercicio en [−π,π) e comproba que cada solución segue pertencendo a unha das dúas familias xerais. Despois explica que cambia se o segundo intervalo deixa de incluír 2π.

Para reforzar a base de funcións e álxebra, consulta Matemáticas II para Galicia e revisa contidos, prezo e condicións actuais de compra. Comproba por separado as orientacións da convocatoria.