Esperanza e varianza: táboas e transformacións lineais

Un valor esperado pode non coincidir con ningún resultado posible. Tampouco indica o que ocorrerá necesariamente no seguinte intento. É unha media ponderada polo modelo de probabilidades; para describir a dispersión necesitamos outra magnitude.

Nesta práctica usamos posicións asinadas nunha recta e distribucións orixinais. Son modelos matemáticos, non medicións dunha poboación real. O signo negativo só indica o lado da orixe: non representa unha probabilidade negativa.

Unha táboa válida antes de calcular medias

Unha variable aleatoria discreta toma os valores que figuran na táboa cunhas probabilidades determinadas. Cada probabilidade debe estar entre cero e un e a súa suma debe ser un.

A esperanza é E(X)=Σxᵢpᵢ. Se hai valores máis probables ca outros, non podemos sumar os valores e dividir simplemente entre o número de filas. Esa media simple só coincide coa esperanza cando todos teñen a mesma probabilidade.

A varianza é Var(X)=Σ(xᵢ−μ)²pᵢ, con μ=E(X). Tamén podemos calculala como E(X²)−[E(X)]². A desviación típica é a raíz cadrada da varianza.

O cadrado en E(X²) e o cadrado en [E(X)]² están en lugares distintos. No primeiro elevamos cada valor ao cadrado antes de ponderar; no segundo calculamos primeiro a media e despois elevámola. En xeral non dan o mesmo.

Primeiro exercicio: media e dispersión dunha posición

Un punto aparece nas posicións X=−2, 1 e 4 cm con probabilidades 0,20, 0,50 e 0,30, respectivamente. Calcula esperanza, varianza e desviación típica.

As probabilidades suman 0,20+0,50+0,30=1 e son non negativas. A esperanza é μ=(−2)·0,20+1·0,50+4·0,30=−0,40+0,50+1,20=1,30 cm.

O valor 1,30 cm non aparece entre as posicións posibles. Iso non invalida a media: describe o centro ponderado da distribución, non un resultado que deba observarse nun intento.

Calculamos E(X²)=4·0,20+1·0,50+16·0,30=0,80+0,50+4,80=6,10 cm². Así, Var(X)=6,10−1,30²=6,10−1,69=4,41 cm².

A desviación típica é σ=√4,41=2,10 cm. A esperanza e a desviación teñen unidades de posición; a varianza ten unidades de posición ao cadrado. Confundir estas unidades pode revelar unha raíz esquecida.

Como comprobación, os desvíos respecto da media son −3,30, −0,30 e 2,70 cm. A suma ponderada dos seus cadrados é 10,89·0,20+0,09·0,50+7,29·0,30=2,178+0,045+2,187=4,410 cm².

A suma ponderada dos desvíos sen cadrado, pola contra, é cero. Os signos permiten que se compensen, polo que esa suma non mide a dispersión.

Segundo exercicio: cambia a escala e a orixe

Definimos unha nova variable Y=2X−3, mantendo unidades de centímetros para a relación numérica. Isto significa que multiplicamos cada posición por dous e desprazamos a orixe tres centímetros na expresión resultante.

Os valores de Y son −7, −1 e 5 cm. As probabilidades correspondentes seguen sendo 0,20, 0,50 e 0,30: a transformación non crea novos resultados aleatorios.

A esperanza directa é E(Y)=−7·0,20−1·0,50+5·0,30=−1,40−0,50+1,50=−0,40 cm. Tamén se obtén como 2E(X)−3=2·1,30−3.

Para a varianza, a resta dunha constante non modifica os desvíos relativos. Multiplicar por dous duplica cada desvío e multiplica o seu cadrado por catro. Por iso Var(Y)=4Var(X)=17,64 cm².

A desviación típica é σY=2σX=4,20 cm. Podemos comprobar a varianza cos valores transformados: E(Y²)=49·0,20+1·0,50+25·0,30=17,80; ao restar (−0,40)² queda 17,64.

En xeral, para Y=aX+b, E(Y)=aE(X)+b, Var(Y)=a²Var(X) e σY=|a|σX. O valor absoluto impide que un cambio de sentido da escala produza unha desviación típica negativa.

Terceiro exercicio: a mesma media non fixa as probabilidades

Outra variable Z toma −0,70 e 3,30 cm con probabilidade 0,50 cada unha. A súa esperanza é E(Z)=(−0,70+3,30)/2=1,30 cm, igual á de X.

Os dous valores están a dous centímetros da media. Polo tanto, Var(Z)=4·0,50+4·0,50=4,00 cm² e σZ=2,00 cm. A dispersión é algo menor ca a de X, malia coincidir as medias.

Compara agora a probabilidade de superar 2 cm. En X só serve a posición 4, de probabilidade 0,30. En Z serve a posición 3,30, de probabilidade 0,50.

Así, a mesma esperanza non implica a mesma probabilidade para un suceso. Tampouco permite reconstruír por si soa a táboa completa. O exercicio separa unha media dunha pregunta sobre unha rexión concreta da distribución.

Mesmo coñecer media e varianza non determina en xeral toda unha distribución. Son resumos útiles, pero non substitúen a información de como se reparten os valores posibles.

Interpretar repeticións sen prometer resultados

Se repetimos un experimento baixo condicións que xustifican o mesmo modelo e as hipóteses apropiadas, as medias de moitas observacións poden estabilizarse arredor da esperanza. Iso non obriga a que cada bloque pequeno teña exactamente esa media.

Non confundas a distribución dun resultado coa distribución da media dunha mostra. O cálculo desta páxina describe unha variable, non proporciona automaticamente a incerteza dunha estimación experimental.

Para conectar estas ideas con outros modelos, consulta o repaso de probabilidade. A libreta de erros permite distinguir un erro de ponderación dun erro ao elevar ao cadrado.

Fonte conceptual: OpenStax, esperanza e desviación típica. As posicións, transformacións e comparacións desta práctica son propias.

Preguntas frecuentes

A esperanza debe ser un dos valores posibles?

Non. É unha media ponderada e pode quedar entre valores que a variable nunca toma nun intento individual.

Sumar unha constante cambia a varianza?

Non. Despraza todos os valores e a media por igual, sen cambiar os desvíos respecto dela.

Dúas variables coa mesma media teñen as mesmas probabilidades?

Non. Poden distribuír os seus valores de maneira distinta e dar probabilidades diferentes para un mesmo tipo de suceso.

Comproba media, cadrados e unidades por separado

Refai o segundo exercicio con Y=−2X−3. Calcula primeiro os tres valores transformados e comproba despois que a esperanza cambia, pero a varianza coincide coa do caso anterior.

Para ampliar a preparación, consulta Matemáticas II para Galicia, coa información actual de contido, prezo e condicións de compra. Esta conexión conceptual non afirma por si mesma a estrutura do exame autonómico.