Custo medio e marxinal: beneficio e límite de capacidade

Minimizar o custo por unidade non é o mesmo que minimizar o custo total nin maximizar un beneficio. Cada pregunta cambia a función que debemos estudar. Unha derivada ben calculada pode dar unha resposta incorrecta se pertence á magnitude equivocada.

Usaremos un modelo económico ficticio como aplicación de derivadas. Non describe unha empresa real, non é unha recomendación comercial e non procede dun exame oficial. A produción represéntase cunha variable continua para estudar o modelo, e despois comentaremos unha restrición de capacidade.

Tres funcións con significados distintos

Sexa x o número de unidades producidas e C(x) o custo total, expresado en euros. Se x>0, o custo medio por unidade é M(x)=C(x)/x. A división polo número de unidades é parte da definición, non unha operación opcional.

O custo marxinal do modelo continuo é C′(x). Describe a taxa de variación do custo total respecto da produción; non é automaticamente igual ao custo medio nin ao custo exacto dunha unidade adicional.

Se o prezo por unidade é p e supoñemos que se vende toda a produción a ese prezo constante, o ingreso é R(x)=px. O beneficio é B(x)=R(x)−C(x). Son hipóteses simplificadoras que non se poden trasladar a un mercado real sen datos.

A relación entre custo medio e marxinal obtense derivando: M′(x)=[xC′(x)−C(x)]/x². Nun punto interior con M′=0, o custo marxinal coincide co medio. Esa igualdade é unha consecuencia do modelo diferenciable, non unha definición de todas as situacións económicas.

Primeiro exercicio: minimiza o custo medio

Considera C(x)=x²+20x+400 para x>0. O termo 400 representa un custo fixo no modelo; o resto depende da produción.

O custo medio é M(x)=x+20+400/x. Derivando, M′(x)=1−400/x². A condición M′=0 dá x²=400. Como o dominio é positivo, só aceptamos x=20.

Para 0<x<20, a derivada é negativa e o custo medio diminúe. Para x>20, é positiva e o custo medio aumenta. Por tanto, x=20 é un mínimo.

Ademais, M(x) tende a infinito cando x se achega a cero pola dereita e cando x medra sen límite. O cambio de signo e estes extremos do dominio confirman o mínimo global do modelo.

O custo medio mínimo é M(20)=20+20+20=60 euros por unidade. O custo total nesa produción é C(20)=400+400+400=1200 euros.

O custo marxinal é C′(x)=2x+20. En x=20 vale 60, igual ao custo medio. Comprobar esa igualdade permite detectar un erro de derivación ou unha división esquecida.

Non estamos minimizando C(x). De feito, C′ é positiva para todo x>0: o custo total aumenta ao producir máis. O mínimo do custo por unidade xorde de repartir o custo fixo e do crecemento do termo cuadrático.

Segundo exercicio: maximiza un beneficio

Mantén o mesmo custo e fixa un prezo hipotético de 100 euros por unidade, con venda completa da produción e sen límite de demanda no modelo.

O ingreso é R(x)=100x. O beneficio é B(x)=100x−(x²+20x+400)=−x²+80x−400. Derivamos: B′(x)=−2x+80.

A condición B′=0 dá x=40. A segunda derivada é B′′=−2, negativa, e a parábola é cóncava: ese punto é un máximo global na variable continua sen restrición superior.

O beneficio máximo é B(40)=−1600+3200−400=1200 euros. O ingreso é 4000 euros e o custo total é 2800, o que recupera a mesma diferenza.

O custo medio en x=40 é M(40)=40+20+10=70 euros por unidade. É maior ca o mínimo de 60, pero esa comparación non invalida o máximo de beneficio: ao producir máis tamén vendemos máis unidades.

Neste punto C′(40)=100, igual ao ingreso marxinal R′=100. Para o custo medio mínimo atopamos C′=M; para o beneficio máximo atopamos C′=R′. Confundir ambas igualdades mesturaría dous obxectivos diferentes.

Terceiro exercicio: introduce unha capacidade máxima

Agora a instalación ficticia só permite producir ata 15 unidades: 0<x≤15. Pedimos de novo minimizar o custo medio, non o beneficio.

O candidato x=20 do primeiro exercicio queda fóra do dominio permitido. Non podemos entregar esa resposta acompañada dunha frase dicindo que sería mellor superar a capacidade: cambiaría a restrición.

En todo o intervalo permitido M′(x)=1−400/x²<0, pois x²≤225<400. O custo medio diminúe ata o extremo dereito, así que o mínimo restrinxido aparece en x=15.

O valor é M(15)=15+20+400/15=61,666… euros por unidade. O custo total é C(15)=225+300+400=925 euros, e 925/15 recupera o custo medio.

Aquí o mínimo non cumpre M′=0: está nun extremo do dominio. Esta é a razón pola que «igualar a derivada a cero» non é un procedemento completo de optimización con restricións.

Se a produción só admite enteiros, o mesmo resultado segue valendo neste caso porque a función diminúe en todo o intervalo e 15 é un valor permitido. Noutros modelos habería que comparar os enteiros próximos ao candidato continuo e os extremos admisibles.

Non confundas taxa marxinal e incremento exacto

No primeiro modelo, C′(20)=60 euros por unidade. Pero producir unha unidade máis cambia o custo en C(21)−C(20)=1261−1200=61 euros.

A derivada é unha taxa local do modelo continuo. O incremento exacto nun salto finito obtense restando os valores da función. A diferenza de un euro neste exemplo non é un fallo da derivada: son magnitudes relacionadas, pero distintas.

Consulta o repaso de optimización para comparar esta aplicación cunha restrición xeométrica. A libreta de erros permite anotar se escolliches mal a función ou se esqueciches un extremo.

Fonte conceptual do método: OpenStax, problemas de optimización aplicada. As funcións de custo, os prezos e as capacidades son datos didácticos propios.

Preguntas frecuentes

Minimizar o custo medio equivale a minimizar o custo total?

Non. O custo medio divide o custo total entre a produción e pode ter un mínimo interior aínda que o total sexa crecente.

Todo mínimo debe cumprir que a derivada vale cero?

Non. Nun dominio restrinxido, un mínimo pode aparecer nun extremo permitido.

O custo marxinal é exactamente o custo dunha unidade adicional?

Non en xeral. A derivada é unha taxa local; o incremento exacto dunha unidade é C(x+1)−C(x).

Escribe o obxectivo e o dominio antes de derivar

Resolve outra vez o terceiro exercicio cunha capacidade de 25 unidades. Comproba se o candidato interior xa é admisible e compara o resultado co límite de capacidade anterior. Mantén sempre separado o obxectivo de custo medio do de beneficio.

Para continuar a preparación, consulta Matemáticas II para Galicia, coa información actual de contido, prezo e condicións de compra. O modelo non describe unha convocatoria nin garante a presenza desta aplicación nun exame.