Simetría dun punto nun plano e percorrido mínimo resolto

Reflectir un punto nun plano non consiste en cambiar o signo dunha coordenada ao azar. Esa regra só funciona para planos coordenados concretos. Nun plano xeral necesitamos identificar a perpendicular e situar o punto medio do segmento no plano.

Esta práctica aplica a simetría respecto dun plano a tres tarefas: obter o punto reflectido, reconstruír o plano a partir dunha parella e minimizar un percorrido que toca unha superficie plana. Son problemas xeométricos orixinais; non atribuímos os números nin os métodos a un exame oficial.

A perpendicular conecta o punto coa súa imaxe

Considera o plano π: ax + by + cz + d = 0, cun vector normal n = (a,b,c) non nulo. Para un punto P, buscamos o pé H da perpendicular sobre o plano.

A recta perpendicular ten dirección n. Escribimos H = P − tn e impoñemos que H pertenza a π. Isto dá:

t = (a·xP + b·yP + c·zP + d)/(a² + b² + c²).

Unha vez coñecido H, o reflectido é P′ = 2H − P. O punto medio de P e P′ é H, e o segmento que os une é perpendicular ao plano. Son dúas condicións que deben comprobarse xuntas.

O fundamento de rectas, normais e distancia perpendicular aparece en OpenStax, rectas e planos no espazo. A fórmula de reflexión anterior obtense aplicando a definición de punto medio ao pé perpendicular.

Exercicio 1: reflectir respecto dun plano inclinado

Dados P = (3,0,2) e π: x + y + z − 2 = 0, calcula H e P′.

A normal é n = (1,1,1). Substituír P na expresión do plano dá 3 + 0 + 2 − 2 = 3. A suma dos cadrados dos coeficientes é 3. Polo tanto, t = 3/3 = 1.

O pé é H = (3,0,2) − (1,1,1) = (2,−1,1). Comprobamos a pertenza: 2 − 1 + 1 − 2 = 0.

O punto reflectido resulta P′ = 2(2,−1,1) − (3,0,2) = (1,−2,0). A diferenza P′ − P = (−2,−2,−2) é paralela á normal. O punto medio é (2,−1,1), exactamente H.

A distancia de P ao plano é √3. A distancia entre P e P′ é 2√3, porque ambos quedan a igual distancia en lados opostos. Usar só √3 como lonxitude do segmento completo esquecería a segunda metade.

Se escribísemos P′ = (−3,0,2), estariamos reflectindo respecto de x = 0, non respecto do plano dado. Un debuxo aproximado pode orientar, pero as dúas comprobacións anteriores deciden a resposta.

Exercicio 2: reconstruír o plano de simetría

Agora sabemos que A = (2,1,3) e A′ = (−2,3,1) son dous puntos distintos e reflectidos un do outro respecto dun plano. Obtén ese plano.

O punto medio é M = (0,2,2). O vector A′ − A = (−4,2,−2) é perpendicular ao plano; podemos usar como normal un múltiplo máis sinxelo, n = (2,−1,1).

O plano que pasa por M coa normal indicada cumpre:

2(x − 0) − (y − 2) + (z − 2) = 0.

Simplificando, obtemos 2x − y + z = 0. Os termos constantes cancélanse; non debemos conservalos cun signo incorrecto.

A expresión do plano vale 6 en A e −6 en A′. Ao dividir polo módulo da normal, √6, ambos quedan a distancia √6, con signos opostos antes de tomar o valor absoluto. Ademais, o segmento é paralelo á normal e o punto medio pertence ao plano.

Non abonda con que un plano conteña M: hai infinitos planos que pasan por un punto. A perpendicular ao segmento fixa a orientación necesaria. Para dous puntos distintos, o plano mediador obtido é único.

Se os puntos coincidisen, este procedemento xa non daría unha normal non nula. Nese caso só saberíamos que o punto debe estar no plano, e a información non determinaría un plano único.

Exercicio 3: o percorrido máis curto que toca z = 0

Un percorrido une A = (0,0,2) con B = (4,0,3), pasando por algún punto R do plano z = 0. A lonxitude é |AR| + |RB|. Busca o mínimo permitindo calquera punto dese plano.

Reflectimos A respecto de z = 0: A′ = (0,0,−2). Para todo R do plano, |AR| = |A′R| por simetría. Así, minimizar a suma equivale a minimizar |A′R| + |RB|.

A desigualdade triangular dá |A′R| + |RB| ≥ |A′B|. Hai igualdade cando R pertence ao segmento que une A′ con B. Como A′ e B están en lados opostos do plano, ese segmento córtao.

Escribimos A′ + t(B − A′) = (4t,0,−2 + 5t). Impoñer z = 0 dá t = 2/5, que está entre cero e un. O punto mínimo é R = (8/5,0,0).

A lonxitude mínima é |A′B| = √(4² + 5²) = √41, aproximadamente 6,403 unidades. Non é a distancia directa |AB| = √17: o percorrido ten a restrición de tocar o plano.

A demostración non depende de probar moitos puntos sobre a superficie nin de derivar unha función con dúas variables. A reflexión transforma a suma de distancias nun segmento e proporciona unha cota que se alcanza.

Conserva as hipóteses xeométricas

No terceiro exercicio permitimos todo o plano. Se R estivese restrinxido a un disco ou a unha rexión limitada que non contén o punto calculado, habería que estudar esa restrición adicional. Non podemos trasladar o mínimo sen comprobar que segue sendo admisible.

Para reforzar normais e ecuacións, consulta o repaso de xeometría no espazo. Na libreta de erros, separa pé perpendicular, punto reflectido e plano mediador: son obxectos diferentes.

Preguntas frecuentes

O pé perpendicular é o punto reflectido?

Non. É o punto medio entre o punto orixinal e o seu reflectido.

Podo cambiar o signo de x para reflectir nun plano calquera?

Non. Esa regra corresponde ao plano x = 0; un plano xeral require usar a súa normal e o pé perpendicular.

O método do percorrido mínimo funciona con calquera restrición sobre R?

Non automaticamente. O punto obtido debe pertencer á rexión permitida; aquí R podía estar en todo o plano.

Comproba punto medio e perpendicularidade

Refai o primeiro exercicio reflectindo P′ e comproba que recuperas P. Despois verifica que multiplicar toda a ecuación do plano por dous non modifica ningún resultado.

Para practicar xeometría con outras condicións, consulta Matemáticas II para Galicia e revisa contidos, prezo e condicións actuais de compra. Comproba tamén as orientacións da túa convocatoria.