Semivida radioactiva: exercicis amb activitat i fons

Semivida radioactiva: interpreta una taula de mesures

En un problema de desintegració radioactiva, dividir per dos pot ser suficient per obtenir una part de la resposta. Però primer has de saber què s’ha mesurat: nuclis, activitat de la mostra o recompte d’un detector. Aquesta pràctica original separa aquestes magnituds i inclou un fons que cal restar. Les dades són simulades i no corresponen a un isòtop concret ni a una pregunta oficial.

Pots situar el tema dins la guia de Física per a la PAU a Catalunya. Aquí ens centrem en una qüestió quantitativa distinta: deduir la semivida i el temps transcorregut a partir d’una activitat corregida. No s’estableix cap previsió sobre preguntes o puntuacions de convocatòries futures.

El model i les unitats abans dels nombres

Considerem una mostra amb un únic radionúclid, sense aportacions noves ni activitat addicional dels productes de desintegració. El model és A(t) = A0·exp(−λt). La semivida T compleix λ = ln(2)/T. La font acadèmica OpenStax: Radioactive Decay presenta aquestes relacions.

L’activitat s’expressa en becquerels: un Bq equival a una desintegració per segon. Un recompte de detector no es pot identificar automàticament amb l’activitat, perquè depèn de l’eficiència i la geometria de mesura. Per evitar aquesta ambigüitat, el nostre enunciat dona lectures ja calibrades en Bq, amb una contribució additiva de fons coneguda.

El fons es manté constant en 40 Bq equivalents durant l’assaig. Per obtenir l’activitat de la mostra, cal restar aquests 40 a cada lectura. No suposem que el fons també decau amb la mateixa semivida.

Exercici 1: troba la semivida a la taula

Una sèrie de lectures calibrades dona aquests valors. Es demana corregir el fons i obtenir la semivida del radionúclid segons el model.

Temps	Lectura calibrada amb fons	Activitat de la mostra
0 h	840 Bq	Per calcular
3 h	440 Bq	Per calcular
6 h	240 Bq	Per calcular
9 h	140 Bq	Per calcular

Restant 40 Bq, obtenim 800, 400, 200 i 100 Bq. L’activitat es redueix a la meitat cada tres hores. Per tant, T = 3 h.

La comprovació amb totes les files és important: de 400 a 200 i de 200 a 100 també transcorren tres hores. Si compares directament 840 amb 440, no trobaràs una meitat exacta perquè el fons no és part de la mostra.

Després de nou hores queda 100/800 = 0,125 de l’activitat inicial, és a dir, el 12,5 %. S’ha reduït un 87,5 %. Són percentatges complementaris, però responen a preguntes diferents.

Exercici 2: calcula la constant i els nuclis

Amb T = 3 h, resulta λ = ln(2)/3 = 0,2310 h⁻¹, aproximadament. Si volem emprar A = λN amb A en Bq, necessitem λ en segons inversos.

Tres hores equivalen a 10.800 s. Així, λ = ln(2)/10.800 = 6,418·10⁻⁵ s⁻¹. Amb l’activitat inicial corregida de 800 Bq, el nombre de nuclis radioactius inicials és N0 = 800/(6,418·10⁻⁵), aproximadament 1,246·10⁷ nuclis.

No divideixis 800 entre 0,2310 sense convertir les unitats. La segona xifra està expressada en hores inverses, mentre que el becquerel fa servir segons. El resultat numèric d’aquesta barreja d’unitats no representaria el nombre de nuclis.

Comprovació: multiplica 1,246·10⁷ per 6,418·10⁻⁵ s⁻¹. Recuperaràs uns 800 s⁻¹, dins de l’arrodoniment. Aquesta substitució inversa detecta un error de potència de deu o una conversió oblidada.

Exercici 3: quan baixa fins a 50 Bq?

La pregunta es refereix a l’activitat de la mostra, sense fons. Partim de 800 Bq i busquem arribar a 50 Bq. La raó és 50/800 = 1/16 = (1/2)⁴. Calen quatre semivides, de manera que t = 4·3 = 12 h.

La lectura calibrada total en aquest instant seria 50 + 40 = 90 Bq. Si l’enunciat demanés quan la lectura total arriba a 90 Bq, obtindríem el mateix temps després de restar el fons. En canvi, una lectura total de 50 Bq correspondria a una activitat de mostra de només 10 Bq.

Aquest contrast mostra per què convé escriure al costat de cada dada «mostra» o «amb fons». Una fórmula ben aplicada a la magnitud equivocada també produeix una resposta equivocada.

Exercici 4: un temps que no és múltiple de tres

Quant temps triga l’activitat de la mostra a baixar de 800 a 300 Bq? Ara no hi ha un nombre enter de divisions per dos. Fem servir t = ln(A0/A)/λ.

Amb λ en hores inverses, t = ln(800/300)/0,2310, aproximadament 4,245 h. La resposta encaixa entre 3 i 6 h, perquè 300 Bq queda entre 400 i 200 Bq.

No interpretis 4,245 h com quatre hores i 245 minuts. La part decimal, 0,245 h, equival aproximadament a 14,7 minuts. Pots donar el resultat com 4,25 h sense transformar-lo si l’enunciat no exigeix hores i minuts.

Revisa el desenvolupament

A la llibreta d’errors pots anotar tres comprovacions: restar el fons, igualar les unitats de temps i verificar l’interval esperat. Si vols ampliar el context, el text en castellà sobre física moderna tracta altres processos nuclears; no confonguis la llei de desintegració amb un càlcul d’energia d’enllaç.

Preguntes freqüents

La semivida depèn de l’activitat inicial d’aquesta mostra?

No en el model d’un únic radionúclid amb constant de desintegració fixa. Una activitat inicial més gran no modifica la semivida.

Cal restar el fons abans de calcular una proporció?

Sí, si la lectura inclou un fons additiu com el de l’enunciat. Les proporcions de desintegració s’apliquen a l’activitat de la mostra.

Quina unitat ha de tenir lambda si l’activitat és en Bq?

Per calcular el nombre de nuclis amb A = λN, lambda s’ha d’expressar en segons inversos, perquè un Bq equival a una desintegració per segon.

Continua la pràctica de Física

Repeteix els apartats tapant les solucions i explica què representa cada resultat. El curs de Física per a Catalunya està disponible per comprar. Consulta la fitxa per veure’n els continguts i valorar com encaixa amb el teu repàs.