Energia relativista: repòs, cinètica i velocitat PAU

L’energia en repòs, l’energia total i l’energia cinètica d’una partícula no són tres noms per a una mateixa quantitat. En relativitat especial es relacionen mitjançant el factor de Lorentz, i la velocitat només té sentit respecte d’un sistema de referència concret.

Aquesta pràctica utilitza una partícula hipotètica i dades originals. No representa un material particular ni un exercici oficial. Suposem una partícula amb massa en repòs no nul·la i un sistema de referència inercial.

Escriu primer les tres energies

Anomenem m la massa en repòs, c la velocitat de la llum i γ=1/√(1−v²/c²). L’energia en repòs és E₀=mc². L’energia total és E=γmc²=γE₀ i la cinètica és K=E−E₀=(γ−1)E₀.

Aquí m no és una «massa que augmenta» amb la velocitat: mantenim la massa invariant i expressem el canvi amb γ. Aquesta convenció evita barrejar definicions quan compares problemes.

L’energia total i la cinètica depenen del sistema de referència. En el sistema on la partícula està en repòs, v=0, γ=1 i K=0, però E₀ continua sent positiva. Tenir energia en repòs no implica estar-se movent.

Treballarem amb E₀=4,00 MeV. Això dona directament una escala d’energia, sense haver de convertir la massa a quilograms. Si el problema demanés joules, caldria fer la conversió al final o treballar de manera consistent en el sistema internacional.

Primer exercici: una velocitat de 0,600c

Calcula les tres energies quan v=0,600c. El quocient v²/c² val 0,360, de manera que γ=1/√0,640=1,25.

L’energia total és E=1,25·4,00=5,00 MeV. L’energia cinètica és K=(1,25−1)·4,00=1,00 MeV. L’energia en repòs continua sent 4,00 MeV.

La comprovació immediata és E=E₀+K: 5,00=4,00+1,00. Si haguessis anomenat «cinètica» el resultat de γmc², obtindries 5,00 MeV i aquesta suma deixaria de quadrar.

Compara ara amb l’aproximació clàssica Kcl=(1/2)mv². Com que mc²=E₀, podem escriure Kcl=(1/2)E₀(v²/c²)=0,5·4·0,36=0,720 MeV.

La diferència és 0,280 MeV. Respecte del valor relativista, l’aproximació queda un 28% per sota. Cal indicar el denominador d’aquest percentatge: dividir entre el resultat clàssic donaria una altra comparació.

A 0,600c no podem suposar que la fórmula clàssica serà precisa només perquè és més familiar. El règim de velocitat és part del model, no una preferència de càlcul.

Segon exercici: passar de 0,600c a 0,800c

Per a v=0,800c, γ=1/√(1−0,64)=1/0,6=5/3. L’energia total és E=(5/3)·4=20/3 MeV, aproximadament 6,667 MeV.

La cinètica val K=(5/3−1)·4=8/3 MeV, aproximadament 2,667 MeV. Per tant, augmentar la velocitat de 0,600c a 0,800c exigeix un increment de cinètica de 2,667−1,000=1,667 MeV.

Aquest increment no és tota l’energia final: és la diferència entre dos estats. Tampoc és una variació de l’energia en repòs, perquè la massa de la partícula s’ha mantingut igual.

El quocient de velocitats és 0,8/0,6=4/3. Si apliquéssim una dependència quadràtica clàssica a la cinètica inicial relativista, prediríem Kfinal=(16/9)·1≈1,778 MeV. Aquesta operació barreja models i no dona el resultat correcte de 2,667 MeV.

L’error no es resol afegint més decimals. La relació relativista entre K i v no és una proporcionalitat simple a v² quan la velocitat deixa de ser petita respecte de c.

Tercer exercici: la cinètica és igual a l’energia en repòs

Ara demanem quina velocitat correspon a K=E₀=4,00 MeV. De K=(γ−1)E₀ deduïm γ−1=1, així que γ=2.

Invertim la definició: 1−v²/c²=1/γ²=1/4. Per tant, v²/c²=3/4 i v=(√3/2)c≈0,866c. L’energia total és E=2E₀=8,00 MeV.

Si utilitzessis Kcl=(1/2)mv² i imposessis Kcl=mc², obtindries v=√2c. Aquest valor superior a c no és una nova possibilitat física per a aquesta partícula; indica que has utilitzat l’aproximació clàssica fora del seu règim.

La fórmula relativista proporciona una velocitat inferior a c per a qualsevol energia cinètica finita i positiva d’una partícula amb massa no nul·la. Quan v s’acosta a c, γ i l’energia necessària creixen sense límit en aquest model.

No apliquis aquestes expressions posant m=0 per descriure un fotó a v=c: apareixeria una combinació indeterminada. Les partícules sense massa requereixen la seva relació entre energia i quantitat de moviment.

Què comprovar abans d’utilitzar la calculadora

Per a una partícula material, γ no pot ser menor que un. L’energia total no pot quedar per sota de l’energia en repòs, i la cinètica no pot ser negativa en el sistema considerat.

Per a velocitats molt petites respecte de c, l’aproximació de γ dona K≈(1/2)mv². Això explica per què la mecànica clàssica funciona tan bé en molts problemes quotidians, però no autoritza a conservar-la amb qualsevol velocitat.

Aquesta pràctica tracta l’energia d’una partícula. El defecte de massa d’un nucli compara masses de sistemes compostos diferents: comparteix la relació massa-energia, però no és el mateix càlcul de canvi de velocitat.

Consulta el repàs de Física moderna per situar el tema i el formulari de Física per organitzar les expressions. La disponibilitat del formulari no implica permís per portar-lo a una prova.

Font conceptual: OpenStax, energia relativista. Les dades i comparacions d’aquesta activitat són originals.

Preguntes freqüents

L’energia total és igual a l’energia cinètica?

No. Per a una partícula amb massa, l’energia total inclou l’energia en repòs i la cinètica.

Si la cinètica és igual a mc², la velocitat és c?

No. En aquest cas γ=2 i la velocitat és aproximadament 0,866c.

Puc utilitzar sempre K=mv²/2?

No. És una aproximació adequada quan la velocitat és prou petita respecte de c per a la precisió exigida.

Compara les dues fórmules amb un mateix criteri

Repeteix el primer exercici a 0,100c i calcula l’error relatiu de l’aproximació clàssica respecte del resultat relativista. Mantén el mateix denominador que abans: així podràs comparar de manera coherent els dos règims.

Per ampliar la pràctica, consulta Física per a Catalunya, amb el contingut, el preu i les condicions actuals de compra. Comprova separadament les instruccions de la convocatòria que et correspon.