Energia de tres càrregues: parelles i treball elèctric

L’energia potencial elèctrica d’un sistema de tres càrregues no es calcula sumant tres vegades la mateixa interacció. Cal identificar totes les parelles una sola vegada i conservar el signe de cada producte de càrregues.

Treballarem amb càrregues puntuals en el buit, mantingudes en posicions definides. Prenem zero d’energia quan totes les càrregues estan infinitament separades i utilitzem k=9,00·10⁹ N·m²/C². Els moviments indicats són ideals i quasistàtics quan es calcula el treball extern; no estudiem radiació ni forces sobre suports reals.

Compta parelles, no una energia pròpia de cada punt

Per a dues càrregues, la interacció és Uᵢⱼ=kqᵢqⱼ/rᵢⱼ. Per a tres, l’energia total és U=U₁₂+U₁₃+U₂₃. Hi ha tres parelles diferents.

El signe positiu d’una parella amb càrregues del mateix signe indica que cal treball extern positiu per apropar-les quasistàticament des de l’infinit. Una parella de signes oposats té energia negativa amb aquesta referència.

No podem eliminar els signes prenent valors absoluts de totes les càrregues. Les distàncies sí que són positives. El signe de l’energia prové dels productes qᵢqⱼ i de la suma.

Si utilitzem potencials, l’expressió equivalent és U=(1/2)ΣqᵢVᵢ, on Vᵢ és el potencial creat per les altres càrregues a la posició de la càrrega i. El factor un mig evita comptar cada parella dues vegades. No incloem el potencial singular que una càrrega puntual crea sobre si mateixa.

Primer exercici: energia total nul·la amb interaccions no nul·les

Situem q₁=+2,00 μC, q₂=+2,00 μC i q₃=−1,00 μC als vèrtexs d’un triangle equilàter de costat 0,300 m. Calcula l’energia total.

Passem primer a coulombs: 2,00 μC=2,00·10⁻⁶ C i −1,00 μC=−1,00·10⁻⁶ C. El producte de dues càrregues en microcoulombs exigeix dos factors de 10⁻⁶.

La parella positiva dona U₁₂=9,00·10⁹·(2,00·10⁻⁶)²/0,300=+0,120 J. Cada parella de signes oposats dona U₁₃=U₂₃=−0,0600 J.

L’energia total és U=0,120−0,0600−0,0600=0 J. Aquest resultat no significa que les càrregues no interaccionin ni que totes les forces siguin nul·les.

La suma escalar d’energies pot cancel·lar-se mentre continuen existint forces sobre cada càrrega. Per decidir forces caldria sumar vectors; una energia total igual a zero no resol aquella pregunta.

També depèn de la referència d’energia declarada. Les diferències d’energia i el treball tenen el significat físic del problema, mentre que el valor zero de partida s’ha triat.

Segon exercici: muntatge de la tercera càrrega

Ara imagina que q₁ i q₂ ja estan fixades a 0,300 m l’una de l’altra. La càrrega q₃ és inicialment molt lluny i la portem lentament fins al tercer vèrtex del triangle anterior.

Abans del moviment, la parella q₁–q₂ ja aporta +0,120 J. Les interaccions de q₃ amb elles tendeixen a zero a l’infinit. Per tant, l’energia inicial del sistema no és zero: és +0,120 J.

Al final, l’energia total és zero, com hem calculat. La variació és ΔU=0−0,120=−0,120 J.

El treball del camp elèctric és Wcamp=−ΔU=+0,120 J. Si la càrrega es mou quasistàticament sense canvi net d’energia cinètica, el treball de l’agent extern és Wextern=ΔU=−0,120 J.

El signe negatiu del treball extern indica que l’agent retira energia en aquest moviment ideal. No és un error que calgui corregir canviant el signe a positiu.

Podem comprovar-ho amb el potencial creat per les dues càrregues fixes al tercer vèrtex: V=2·k·(2,00·10⁻⁶)/0,300=120000 V. El canvi d’energia associat a portar q₃ des de l’infinit és q₃V=−0,120 J.

Aquesta comprovació calcula la variació deguda a la tercera càrrega, no torna a calcular la interacció que ja existia entre les dues primeres.

Tercer exercici: trasllat fins al punt mig

Mantén fixes q₁ i q₂ i trasllada q₃ des del tercer vèrtex fins al punt mig del segment que uneix les càrregues positives. La distància final a cadascuna és 0,150 m.

La parella q₁–q₂ no canvia: continua aportant +0,120 J. Les dues noves interaccions valen U₁₃=U₂₃=9,00·10⁹·(−2,00·10⁻¹²)/0,150=−0,120 J cadascuna.

L’energia final és 0,120−0,120−0,120=−0,120 J. Com que l’estat inicial del triangle tenia U=0, la variació és ΔU=−0,120 J.

El camp fa +0,120 J de treball durant el trasllat. En un moviment quasistàtic, l’agent extern fa −0,120 J. Si la càrrega es deixés moure lliurement, caldria incloure la variació d’energia cinètica i justificar la trajectòria; no podem conservar aquella condició quasistàtica sense un agent de control.

Al punt mig, el potencial de les dues càrregues fixes és 240000 V. La diferència respecte del tercer vèrtex és 120000 V, i q₃ΔV torna a donar −0,120 J.

El treball depèn de què es mou i què queda fix

En els dos últims exercicis només es mou q₃. Això permet tractar q₁ i q₂ com a fonts fixes i calcular ΔU=q₃ΔV. Si diverses càrregues canvien de posició, cal revisar totes les parelles afectades.

No sumis de nou U₁₂ en una variació si no ha canviat: apareix igual a l’estat inicial i al final i es cancel·la. En canvi, per a l’energia total de cada estat sí que forma part del sistema.

Consulta el repàs de Física per ordenar els blocs de preparació. El formulari de Física ajuda a distingir energia, potencial i treball, sense implicar autorització per portar-lo a una prova.

Font conceptual: OpenStax, energia potencial elèctrica. Les càrregues, la geometria i els tres càlculs d’aquesta activitat són propis.

Preguntes freqüents

Tres càrregues tenen tres o sis parelles d’interacció?

Tres parelles diferents. Comptar cada ordre per separat duplicaria l’energia.

Una energia total nul·la implica que totes les forces siguin nul·les?

No. Les energies són escalars i poden cancel·lar-se sense que desapareguin les forces vectorials.

El treball extern sempre coincideix amb el del camp?

No. En el moviment quasistàtic sense canvi d’energia cinètica tenen signes oposats: Wextern=ΔU i Wcamp=−ΔU.

Escriu els dos estats abans de restar energies

Dibuixa les tres parelles i marca quines distàncies canvien en cada trasllat. Calcula les energies inicial i final abans de parlar del treball: així evitaràs confondre el muntatge complet amb el moviment d’una sola càrrega.

Per continuar, consulta Física per a Catalunya, amb el contingut, el preu i les condicions actuals de compra. Contrasta separadament les instruccions de la convocatòria que et correspon.