Corda amb extrems fixos: modes i tensió amb exercicis

Una corda fixada pels dos extrems no pot adoptar qualsevol patró d’ona estacionària. Els extrems han de ser nodes i la longitud ha de contenir un nombre enter de mitges longituds d’ona. Aquesta condició geomètrica connecta la tensió, la densitat lineal i les freqüències pròpies.

Treballarem amb una corda ideal, homogènia, amb tensió constant i oscil·lacions transversals petites. Negligim la rigidesa, les pèrdues i la massa del suport. Els exercicis són originals: serveixen per entendre el model, sense atribuir-los a cap examen oficial.

Separa la velocitat de propagació i la freqüència pròpia

La velocitat d’una ona transversal en aquest model és v=√(T/μ), on T és la tensió i μ la massa per unitat de longitud. La unitat de μ és kg/m; no és la massa total de la corda.

Per a una corda de longitud L fixada pels dos extrems, L=nλₙ/2, amb n=1,2,3… Per tant, λₙ=2L/n i fₙ=nv/(2L). La freqüència fonamental és f₁=v/(2L).

El subíndex n identifica el mode. En aquest sistema ideal coincideix amb el número d’harmònic, però no cal estendre aquesta correspondència a qualsevol instrument o condició de contorn. Un tub amb un extrem tancat, per exemple, requereix un altre model.

Una ona estacionària resulta de la superposició d’ones que es propaguen en sentits oposats. Els nodes romanen sense desplaçament transversal; els ventres tenen amplitud màxima. Aquesta descripció no significa que cada partícula de la corda avanci al llarg de tota la longitud.

Primer exercici: identifica el mode de 240 Hz

Una corda té L=1,25 m, μ=0,00200 kg/m i T=80,0 N. Calcula la velocitat, la freqüència fonamental i el mode associat a 240 Hz.

La velocitat és v=√(80/0,002)=√40000=200 m/s. La freqüència fonamental val f₁=200/(2·1,25)=80 Hz. Com que 240/80=3, la freqüència proposada correspon al tercer mode.

La longitud d’ona d’aquest mode és λ₃=2·1,25/3=0,833… m. També la podem obtenir amb λ=v/f=200/240. Les dues expressions donen el mateix resultat perquè combinen la propagació amb la condició dels extrems.

El tercer mode conté tres ventres i quatre nodes, comptant els dos extrems. Els nodes estan a x=0, L/3, 2L/3 i L: aproximadament 0, 0,417, 0,833 i 1,25 m. Els ventres queden entremig dels nodes consecutius.

Un error habitual és dir que hi ha tres nodes perquè n=3. El nombre n compta les mitges longituds d’ona que caben a la corda i, en aquest cas, també els ventres. Els nodes totals són n+1.

Segon exercici: dedueix la fonamental de dues ressonàncies

En la mateixa longitud de 1,25 m, observes dues freqüències pròpies consecutives, 240 Hz i 320 Hz. La paraula «consecutives» és una dada essencial.

En el model fixat pels dos extrems, fₙ₊₁−fₙ=f₁. Així, f₁=320−240=80 Hz. La velocitat és v=2Lf₁=2·1,25·80=200 m/s. Amb μ=0,00200 kg/m, la tensió calculada és T=μv²=80 N.

Els números dels modes són 240/80=3 i 320/80=4. La identificació és coherent amb la condició que siguin consecutius. A més de trobar un nombre, hem comprovat la hipòtesi que ens permetia obtenir-lo.

Si només sabéssim que 240 Hz i 320 Hz són freqüències pròpies, sense assegurar que són consecutives, la resta no determinaria necessàriament la fonamental. Per exemple, amb f₁=40 Hz serien els modes sisè i vuitè: hi hauria un mode intermedi a 280 Hz.

Amb f₁=20 Hz també serien modes enters, dotzè i setzè. Caldria informació addicional, com la tensió, la velocitat o l’absència justificada de modes intermedis. No converteixis una observació parcial en una afirmació d’adjacència que l’enunciat no dona.

Tercer exercici: quadruplica la tensió

Mantén L=1,25 m i μ=0,00200 kg/m, però augmenta la tensió de 80 N a 320 N. Com que la velocitat depèn de l’arrel quadrada de la tensió, es duplica: v=400 m/s.

La nova fonamental és f₁=400/(2·1,25)=160 Hz. Les freqüències pròpies ideals són ara 160, 320, 480 Hz… La freqüència de 240 Hz ja no és un múltiple enter de la fonamental.

El quocient 240/160=1,5 no representa un mode permès en aquesta corda amb aquests extrems. No es pot arrodonir a dos: això canviaria la freqüència a 320 Hz i substituiria el problema per un altre.

Si un excitador continua forçant a 240 Hz, pot haver-hi una resposta forçada real. El que no podem afirmar és que coincideixi amb una freqüència pròpia ideal o que formi el tercer mode anterior. L’amplitud i el patró real també dependran de l’excitació i de les pèrdues, que aquí no hem quantificat.

Per conservar 240 Hz com a tercer mode amb la nova velocitat de 400 m/s, caldria canviar la longitud a L=nv/(2f)=3·400/(2·240)=2,50 m. Aquesta comparació ajuda a separar una propietat del medi d’una condició geomètrica.

Com comprovar la coherència sense repetir tot el càlcul

Amb longitud i densitat lineal constants, multiplicar la tensió per quatre duplica totes les freqüències pròpies. Duplicar la longitud amb velocitat constant les divideix per dos. Aquestes proporcions permeten detectar errors d’arrel quadrada o de denominador.

La longitud d’ona d’un mode fix depèn de L i n. Si mantens aquests dos valors i canvies la tensió, canvia la freqüència però no aquella longitud d’ona. En canvi, si fixes la freqüència de l’excitador, no pots mantenir automàticament el mateix número de mode.

Consulta el repàs d’ones per a Física per connectar propagació i superposició. El formulari de Física pot ajudar-te a ordenar les expressions; disposar-ne no implica que es permeti portar-lo a una prova.

Font conceptual: OpenStax, ones estacionàries i ressonància. Els valors i les preguntes d’aquesta pràctica són propis.

Preguntes freqüents

El tercer mode té tres nodes?

No. En una corda fixada pels dos extrems té tres ventres i quatre nodes, inclosos els extrems.

La diferència entre dues freqüències pròpies sempre és la fonamental?

Només si són consecutives en aquest model; si hi ha modes intermedis, la diferència és un múltiple de la fonamental.

Quadruplicar la tensió quadruplica les freqüències?

No. Amb longitud i densitat lineal constants, les duplica perquè la velocitat depèn de l’arrel quadrada de la tensió.

Dibuixa el mode abans de donar la resposta

Dibuixa els nodes del tercer mode i comprova que hi caben tres mitges longituds d’ona. Després intenta situar-ne una i mitja mantenint els dos extrems fixos: veuràs per què el resultat del tercer exercici no identifica una freqüència pròpia.

Per continuar la preparació, consulta la fitxa de Física per a Catalunya, amb el contingut, el preu i les condicions actuals de compra. Aquesta pràctica no descriu per si sola les instruccions de la convocatòria.