Rodadura sen esvarar: reparto de enerxía resolto

Un corpo que roda sen esvarar non só avanza: tamén xira. Se calculas a súa enerxía cinética usando unicamente a velocidade do centro de masas, deixarás fóra unha parte da enerxía do movemento.

Esta actividade orixinal é unha ampliación de mecánica. Non atribúe a rotación de corpos ríxidos a un programa autonómico concreto nin presenta os exercicios como preguntas oficiais. O obxectivo é aprender cando se poden relacionar translación e rotación e como comprobar o reparto de enerxía.

O modelo que imos empregar

Consideramos corpos ríxidos que rodan sobre unha superficie fixa sen esvarar. O raio é R e a rapidez do centro de masas é v. A condición cinemática permite escribir v = Rω, onde ω é a rapidez angular en rad/s.

A enerxía cinética total é K = mv²/2 + Iω²/2. O momento de inercia I corresponde ao eixe de rotación que pasa polo centro de masas. Non é correcto sumar unha enerxía de translación a unha enerxía de rotación calculada arredor doutro eixe sen revisar o modelo: poderías contar parte do movemento dúas veces.

A sección de OpenStax sobre rodadura explica a relación sen esvaramento e o uso da conservación da enerxía. Aquí damos expresamente os momentos de inercia necesarios; non tes que deducilos dunha figura.

Exercicio 1: canta enerxía falta nun cálculo só translacional?

Un cilindro macizo de masa 3,00 kg e raio 0,200 m roda sen esvarar cunha rapidez do centro de masas de 4,00 m/s. Para o cilindro, I = mR²/2. Calcula ω, as dúas contribucións á enerxía e o total.

Primeiro: ω = 4,00/0,200 = 20,0 rad/s. O momento de inercia é 3,00·0,200²/2 = 0,0600 kg·m².

A contribución translacional vale 3,00·4,00²/2 = 24,0 J. A rotacional vale 0,0600·20,0²/2 = 12,0 J. Por tanto, K = 36,0 J.

O cálculo de 24,0 J non era unha operación aritmética incorrecta: era unha descrición incompleta do movemento. Faltaban 12,0 J porque o cilindro tamén xiraba.

A fracción rotacional é 12,0/36,0 = 1/3, mentres que a translacional é 2/3. Non repartimos a enerxía en metades simplemente porque existan dous tipos de movemento.

Unha forma de comprobar o reparto

Se escribimos I = βmR² e substituímos ω = v/R, a enerxía total queda K = mv²(1 + β)/2.

A fracción rotacional é β/(1 + β). A translacional é 1/(1 + β). No cilindro anterior β = 1/2 e recuperamos 1/3 e 2/3.

Esta comprobación evita repetir todas as substitucións, pero non elimina as condicións. Só podemos utilizar v/R como rapidez angular se o corpo roda sen esvarar. Ter unha roda en contacto co chan non garante automaticamente esa relación.

Tampouco β é o mesmo para calquera obxecto circular. Depende de como se distribúe a masa arredor do eixe, non só do contorno exterior.

Exercicio 2: dous corpos descenden a mesma altura

Un aro delgado e unha esfera maciza parten do repouso e descenden unha altura vertical de 1,20 m por pistas fixas. Supoñemos rodadura sen esvaramento, corpos ríxidos, ausencia de resistencia á rodadura e perdas desprezables. Usa g = 9,80 m/s².

Damos I = mR² para o aro e I = 2mR²/5 para a esfera. Calcula a rapidez final de cada centro de masas.

A conservación da enerxía mecánica proporciona mgh = mv²(1 + β)/2. Por tanto, v = √[2gh/(1 + β)].

Para o aro β = 1: v = √11,76 = 3,43 m/s, aproximadamente. Para a esfera β = 0,4: v = √16,8 = 4,10 m/s, aproximadamente.

A esfera chega ao nivel inferior cunha rapidez do centro de masas maior. Non porque teña máis enerxía inicial por unidade de masa, senón porque o reparto entre translación e rotación depende de β.

O resultado compara rapidez no nivel final. Para afirmar tempos de chegada faría falta especificar tamén as pistas e analizar o movemento: non debemos converter unha comparación de enerxías nunha conclusión temporal ilimitada.

Neste modelo, a masa cancélase. O raio tamén desaparece da rapidez final cando I se expresa mediante βmR², aínda que si afectaría a ω = v/R. A cancelación nun resultado non significa que o raio non teña ningún papel físico.

Exercicio 3: detectar esvaramento antes de calcular

Outro cilindro ten R = 0,200 m. Nun instante mídese v = 3,00 m/s e ω = 10,0 rad/s. ¿Podes aplicar a fórmula reducida anterior como se rodase sen esvarar?

Non. Rω = 2,00 m/s, distinto de 3,00 m/s. Os datos non cumpren a condición sen esvaramento. Para a orientación habitual de xiro cara adiante, o punto inferior ten unha velocidade de 1,00 m/s respecto ao chan.

Se ademais m = 3,00 kg e I = 0,0600 kg·m², a enerxía instantánea segue sendo a suma das dúas contribucións: K = 13,5 + 3,0 = 16,5 J.

O que falla non é a descomposición da enerxía dun corpo ríxido. Falla substituír ω por v/R. Se fixeras esa substitución, obterías 20,25 J e describirías outro estado de movemento distinto do medido.

Non deducimos aquí a evolución posterior nin a distancia ata que deixe de esvarar. Iso require información sobre as forzas e o rozamento cinético.

Rozamento estático e enerxía

No modelo ideal de contacto cunha superficie fixa, o punto de contacto está instantaneamente en repouso cando non hai esvaramento. Por iso o rozamento estático pode exercer unha forza e un momento sen realizar traballo neto sobre o corpo a través dese punto.

Isto non significa que o rozamento sempre careza de efectos enerxéticos nin que unha roda real nunca perda enerxía. Deformacións, resistencia á rodadura e superficies móbiles esixen outro tratamento. As hipóteses declaradas son parte da solución.

Anota a comprobación v = Rω na libreta de erros. Podes organizar magnitudes e unidades co formulario de Física, distinguindo sempre o modelo puntual do corpo que tamén xira.

Preguntas frecuentes

A enerxía dunha roda é sempre mv²/2?

Non. Se tamén xira, hai unha contribución rotacional Iω²/2 arredor do centro de masas, ademais da translacional.

Podo utilizar ω = v/R cando hai esvaramento?

Non como condición automática. Debes comprobar que o movemento cumpre a rodadura sen esvarar; os datos do terceiro exercicio non a cumpren.

Translación e rotación reciben sempre a metade da enerxía?

Non. O reparto depende do momento de inercia. No cilindro macizo traballado, a rotación representa un terzo do total.

Comproba primeiro se a roda esvara

Antes de conservar enerxía, identifica o eixe de I e compara v con Rω. Despois calcula as dúas contribucións. Para continuar a preparación, consulta os contidos dispoñibles no curso de Física de Murcia; esta actividade de ampliación non acredita por si mesma o alcance dese curso.