Centro de masas: partículas e lámina cun recorte

O centro de masas non se obtén facendo sempre a media das posicións. Esa operación só funciona para masas iguais. Se unha parte concentra máis masa, pesa máis no cálculo, aínda que ocupe menos espazo no debuxo.

Nesta práctica resolverás tres casos orixinais: dúas partículas nunha recta, tres masas nun plano e unha lámina á que se lle retira unha esquina. É unha actividade de fundamentos e ampliación; non se atribúe a un programa autonómico concreto da PAU. A tarefa consiste en localizar unha distribución de masa, non en calcular reaccións de apoios.

O dato que multiplica cada posición

Para partículas de masas positivas, a coordenada horizontal é xCM = Σ(mi xi)/Σmi. A vertical calcúlase do mesmo xeito, usando yi. O denominador é a masa total do sistema, incluídas as partículas situadas na orixe.

Unha masa en x = 0 non contribúe ao numerador horizontal, pero segue contando no denominador. Esquecela equivale a cambiar o sistema que estás estudando.

Escolle unha orixe e conserva esa referencia en todos os datos. O resultado é unha posición, medida en metros se usas coordenadas en metros. Os produtos intermedios teñen unidades kg·m; ao dividir entre kg recuperas unha lonxitude.

Primeiro exercicio: dúas masas desiguais

Unha partícula de 2,0 kg está en x = 0 m e outra de 3,0 kg está en x = 4,0 m. Despreza a masa de calquera conexión entre elas. Calcula o centro de masas e compárao co punto medio xeométrico.

A masa total é 5,0 kg. O numerador é 2,0·0 + 3,0·4,0 = 12 kg·m. Polo tanto, xCM = 12/5,0 = 2,4 m.

O punto medio do segmento está en 2,0 m. O centro de masas queda 0,4 m máis preto da partícula máis pesada. As distancias ás partículas son 2,4 m e 1,6 m, respectivamente.

Como comprobación, os produtos das masas polas distancias ao centro de masas son iguais: 2,0·2,4 = 4,8 kg·m e 3,0·1,6 = 4,8 kg·m. Esta igualdade non significa que ambas partículas teñan a mesma masa; expresa o balance das posicións ponderadas neste caso.

Se duplicamos as dúas masas, o centro non se move: numerador e denominador multiplícanse polo mesmo factor. Se duplicamos só a segunda, a posición cambia. A distribución relativa, non só a masa total, determina a localización.

Segundo exercicio: tres partículas en dúas dimensións

Colocamos 2,0 kg en (0, 0), 1,0 kg en (6,0, 0) e 3,0 kg en (0, 4,0). Todas as coordenadas están en metros. Calcula ambas coordenadas do centro de masas.

A masa total é 6,0 kg. Para a horizontal só contribúe ao numerador a partícula da dereita: xCM = (2·0 + 1·6 + 3·0)/6 = 1,0 m.

Para a vertical só contribúe ao numerador a partícula superior: yCM = (2·0 + 1·0 + 3·4)/6 = 2,0 m. O resultado completo é (1,0 m, 2,0 m), non a suma 3,0 m.

A media simple das tres posicións daría (2,0 m, 1,33 m), un resultado incorrecto porque asigna a mesma importancia a masas diferentes. A partícula superior, de 3 kg, representa a metade da masa total e despraza o centro cara a ela.

Non hai ningunha partícula exactamente en (1,0, 2,0). Iso non invalida a solución. O centro de masas é unha posición asociada á distribución; non ten que coincidir cun punto ocupado por materia.

Outra comprobación consiste en trasladar a orixe 1 m á dereita. As novas coordenadas horizontais das partículas serían −1, 5 e −1 m. O cálculo daría xCM = 0 m nesa referencia: é o mesmo punto físico, agora medido desde outra orixe.

Terceiro exercicio: unha lámina cun recorte

Unha lámina rectangular uniforme ocupa 0 ≤ x ≤ 6 m e 0 ≤ y ≤ 4 m. Ten espesor e densidade constantes. Retiramos a esquina rectangular delimitada por 4 ≤ x ≤ 6 m e 0 ≤ y ≤ 2 m. Localiza o centro de masas da parte restante.

A lámina completa ten área 24 m² e centro en (3, 2) m. A esquina retirada ten área 4 m² e centro en (5, 1) m. A área restante é 20 m².

Como todas as partes teñen a mesma masa por unidade de superficie, podemos usar áreas en lugar de masas. Restamos a contribución da esquina ao primeiro momento de área:

xCM = (24·3 − 4·5)/(24 − 4) = 52/20 = 2,6 m.

yCM = (24·2 − 4·1)/(24 − 4) = 44/20 = 2,2 m.

O centro desprázase cara á esquerda e cara arriba respecto do centro inicial. Ten sentido: retiramos material da parte dereita e inferior.

A resta é unha ferramenta contable. Non existe unha masa física negativa na lámina final. Estamos calculando a contribución da peza completa e descontando a parte que xa non está.

Comprobemos reconstruíndo a lámina. Para x, 20·2,6 + 4·5 = 72 m³, igual a 24·3. Para y, 20·2,2 + 4·1 = 48 m³, igual a 24·2. As unidades m³ corresponden aquí a área por coordenada, non a un volume material calculado a partir do espesor.

Cando non podes substituír masas por áreas

Se o recorte pertence a outro material, a densidade cambia ou o espesor non é uniforme, as áreas por si soas non representan correctamente as masas. Debes calcular a masa de cada parte e usar esa ponderación.

Tampouco convén confundir centro de masas e centro xeométrico. Coinciden en moitas figuras uniformes e simétricas, pero esa coincidencia depende da distribución. Un debuxo simétrico con materiais diferentes pode ter o centro de masas desprazado.

Para evitar erros, prepara unha táboa con masa, x, y, masa por x e masa por y. No caso dun recorte, indica claramente que fila se desconta e comproba que a masa restante é positiva.

Preguntas frecuentes

¿O centro de masas é sempre o punto medio?

Non. O punto medio funciona para dúas masas iguais. Con masas diferentes hai que ponderar as posicións e o centro queda máis preto da maior.

¿Pode estar nun punto onde non hai materia?

Si. Un sistema de partículas separadas ou unha figura oca pode ter o centro de masas nun espazo baleiro. Iso non implica ningún erro no cálculo.

¿Podo usar áreas en lugar de masas?

Si, cando todas as partes teñen a mesma masa por unidade de superficie. Se cambian a densidade ou o espesor, debes usar as masas correspondentes.

Comproba a dirección do desprazamento

A definición e o cálculo por coordenadas están desenvolvidos en OpenStax: centro de masas. Garda a expresión ponderada no teu formulario de Física acompañada dunha advertencia: media simple só con masas iguais.

Antes de repetir as operacións, cambia mentalmente a masa dunha partícula e predí cara a onde se moverá o centro. Para ampliar a preparación, consulta a ficha de Física de Murcia, onde podes revisar o curso dispoñible e as condicións de compra.