Momento angular e inercia: conserva L, revisa enerxía

Se un sistema que xira achega a súa masa ao eixe, pode aumentar a rapidez angular sen recibir un momento externo neto. Iso non implica que a súa enerxía cinética permaneza constante. Conservar momento angular e conservar enerxía cinética son afirmacións diferentes.

Nesta actividade orixinal de ampliación analizamos un sistema ideal arredor dun eixe fixo. Non presentamos o contido como requisito universal de ningunha PAU autonómica. A finalidade é comprobar hipóteses, unidades e balances sen confundir dúas leis de conservación.

Que sistema e que eixe estamos usando?

Traballamos con rotación arredor dun eixe fixo e cun momento de inercia I respecto dese eixe. Nos estados inicial e final, as masas xiran xuntas cunha rapidez angular ω. Neses estados, L = Iω para a compoñente do momento angular ao longo do eixe.

Se o momento externo neto arredor do eixe é nulo durante o cambio, conservamos esa compoñente: I inicial · ω inicial = I final · ω final.

A explicación de OpenStax sobre conservación do momento angular relaciona o cambio de I coa rapidez angular e distingue o balance de enerxía. Aquí empregamos números e situacións propios.

Declarar ausencia de momento externo arredor do eixe non equivale a dicir que non exista ningunha forza. Un apoio pode exercer forzas. O relevante para esta conservación é o momento neto externo respecto do eixe seleccionado.

Exercicio 1: achegar dúas masas ao centro

Unha plataforma ten momento de inercia de 0,800 kg·m². Sobre ela, dúas masas puntuais de 0,500 kg cada unha están inicialmente a 0,600 m do eixe. Todo xira a 2,00 rad/s. Un mecanismo interno achega ambas masas ata 0,200 m.

Supoñemos momento externo neto nulo, ausencia de perdas e masas sen velocidade radial nos estados inicial e final. Calcula I inicial, I final e a rapidez angular final.

As contribucións das masas puntuais son mr². Por tanto:

I inicial = 0,800 + 2·0,500·0,600² = 1,160 kg·m².

I final = 0,800 + 2·0,500·0,200² = 0,840 kg·m².

O momento angular inicial é 1,160·2,00 = 2,320 kg·m²/s. A rapidez final vale 2,320/0,840 = 2,762 rad/s, aproximadamente.

As masas achéganse e I diminúe. Para manter o mesmo produto Iω, ω aumenta. A comprobación final é 0,840·2,762 ≈ 2,320, coa pequena diferenza debida ao arredondamento.

Non elevamos ω ao cadrado nesta conservación. Ese cadrado aparece na enerxía cinética, que é outra magnitude.

Exercicio 2: de onde sae o aumento de enerxía?

Para os mesmos estados, calcula K inicial e K final mediante K = Iω²/2.

A enerxía inicial é 1,160·2,00²/2 = 2,320 J. Para a final, podemos usar K = L²/(2I) e evitar arredondar previamente ω:

K final = 2,320²/(2·0,840) = 3,204 J, aproximadamente.

O aumento é 0,884 J. O momento angular conservouse, pero a enerxía cinética de rotación aumentou.

No modelo, o mecanismo interno fornece ese traballo neto ás partes mecánicas que estamos contabilizando. Se incluímos tamén a súa fonte de enerxía, por exemplo unha reserva elástica ou eléctrica ideal, debe diminuír outra forma de enerxía. Non estamos creando enerxía da nada.

As condicións iniciais e finais sen movemento radial importan: permiten comparar só as contribucións de rotación indicadas. Durante o desprazamento das masas pode existir movemento radial e intercambio de enerxía que non describimos cunha fotografía dos extremos.

Un erro habitual sería conservar Iω² e obter unha rapidez final distinta. Esa operación imporía conservación da enerxía cinética ao mesmo tempo que ignoraría o traballo do mecanismo. O enunciado non autoriza esa substitución.

Unha comprobación xeral coa mesma L

Se L é constante, K = L²/(2I). Así, o cociente entre enerxías é K final/K inicial = I inicial/I final.

No exemplo: 1,160/0,840 = 1,381, aproximadamente. A enerxía cinética final é arredor dun 38,1 % maior que a inicial. A rapidez angular tamén aumenta nese factor porque L = Iω.

Non interpretes isto como que K sempre depende inversamente de I en calquera experimento. Esa relación require comparar estados coa mesma L. Se mantivésemos ω fixa mediante un motor externo, o comportamento sería diferente e o momento angular non tería por que conservarse.

Escribir que magnitude se mantén constante é tan importante como escribir a fórmula.

Exercicio 3: unha medida que revela momento externo

Outro sistema ten I inicial = 1,20 kg·m² e ω inicial = 3,00 rad/s. Despois dun cambio, I final = 0,900 kg·m². Unha medida dá ω final = 3,50 rad/s. O proceso dura 0,500 s.

¿Son compatibles os datos coa hipótese de momento externo neto nulo? Non. L inicial = 3,60 kg·m²/s, mentres que L final = 3,15 kg·m²/s.

O cambio é −0,45 kg·m²/s. Polo tanto, o momento externo neto medio ao longo do eixe é ΔL/Δt = −0,900 N·m. O signo indica que se opón ao sentido que escollemos positivo.

Se o momento externo neto fose realmente nulo, a rapidez final esperada sería 3,60/0,900 = 4,00 rad/s, non 3,50. O exercicio permite contrastar unha hipótese cos datos en vez de declarala certa porque aparece nunha fórmula coñecida.

Non deducimos que ese momento sexa constante en cada instante. Dividir ΔL polo tempo dá o valor medio. Para coñecer a evolución instantánea necesitaríamos información adicional.

Pauta de autocorrección

Debuxa a fronteira do sistema e marca o eixe. Identifica que forzas son externas e se poden producir momento arredor del. Despois calcula I sumando as contribucións e conserva L só cando as condicións o permitan.

Nunha segunda liña, calcula enerxías. Non escribas «conservación» sen nomear a magnitude. Se K cambia, busca o traballo e as transformacións de enerxía compatibles co sistema escollido.

Organiza unidades co formulario de Física e anota na libreta de erros a diferenza entre Iω e Iω²/2.

Preguntas frecuentes

Se se conserva o momento angular, consérvase a enerxía cinética?

Non necesariamente. Un mecanismo interno pode cambiar a distribución de masa e realizar traballo, mantendo L e modificando a enerxía cinética de rotación.

Achegar masa ao eixe aumenta sempre a rapidez angular?

No modelo con momento externo neto nulo e L inicial non nula, diminuír I aumenta o módulo de ω. Se actúan momentos externos, hai que analizar o seu efecto.

ΔL dividido polo tempo dá o momento en cada instante?

Non. Dá o momento externo neto medio no intervalo. Un valor instantáneo require coñecer como cambia L co tempo.

Escribe dous balances separados

Resolve primeiro o balance de momento angular e despois o de enerxía. Explica que fornece ou recibe o traballo cando cambia K. Podes consultar os contidos dispoñibles no curso de Física de Murcia para continuar a preparación segundo o teu itinerario.