Reconto: orde, repetición, comisións e códigos resoltos

Tres persoas poden formar un equipo, ocupar tres cargos ou aparecer nunha lista de acceso. Son as mesmas persoas, pero non son o mesmo resultado matemático. A pregunta que decide a conta é esta: se intercambias dúas persoas, obtés unha opción distinta?

Nesta práctica non calcularás probabilidades. Contarás resultados posibles definindo primeiro que se considera unha opción. Así poderás distinguir orde, repetición e restricións antes de escoller unha fórmula. Os exemplos son orixinais e están formulados para que ningunha destas condicións quede implícita.

Describe o resultado antes de contar

Un conxunto non ordenado de tres persoas non distingue a orde na que se escriben os nomes. Unha asignación de tres cargos diferentes si distingue quen ocupa cada posto. Un código de catro símbolos distingue as posicións, aínda que dous símbolos poidan coincidir se está permitido repetilos.

O principio de reconto e as combinacións de OpenStax ofrecen o marco para estas contas. Nos exercicios seguintes xustificaremos cada factor cunha decisión concreta, en lugar de escoller unha fórmula só porque aparece a palabra equipo ou código.

Unha boa comprobación inicial é reducir o problema a tres ou catro obxectos e enumerar algunhas opcións. Se unha fórmula conta como distintos dous resultados que o enunciado considera iguais, sobra un factor de ordenación.

Primeiro exercicio: equipo sen cargos e equipo con cargos

Datos. Un grupo ten oito persoas distintas. Queremos escoller tres, sen repetición. No caso A forman unha comisión sen cargos. No caso B ocupan presidencia, secretaría e tesouraría, cun cargo por persoa.

Para o caso B, hai oito eleccións para presidencia, sete para secretaría e seis para tesouraría. O resultado é 8·7·6 = 336 asignacións. Intercambiar presidencia e secretaría cambia a asignación.

Para o caso A, cada comisión apareceu 3! = 6 veces nesa lista de asignacións: as súas tres persoas poden ocupar os tres lugares de seis maneiras. Como eses lugares non importan na comisión, dividimos:

C(8,3) = 8·7·6 / (3·2·1) = 56 comisións.

Non dividimos por oito nin por tres. Dividimos polo número de ordenacións de cada selección concreta. A diferenza entre 336 e 56 nace da definición de resultado, non dunha propiedade das persoas.

Se xa escollemos unha comisión concreta e agora repartimos os tres cargos, haberá seis maneiras. Multiplicar 56·6 recupera 336 e comproba que as dúas contas encaixan.

Segundo exercicio: códigos con repetición e primeira posición restrinxida

Datos. Un código ten catro posicións e usa os símbolos 0, 1, 2, 3 e 4. A primeira posición non pode ser cero. No caso A permítese repetir símbolos; no caso B non se pode repetir ningún.

No caso A, a primeira posición ten catro opcións: 1, 2, 3 ou 4. Cada unha das outras posicións ten cinco. Hai 4·5·5·5 = 500 códigos.

No caso B, a primeira posición conserva catro opcións. Despois quedan catro símbolos dispoñibles, incluído o cero se non se usou; logo quedan tres e finalmente dous. Hai 4·4·3·2 = 96 códigos.

O segundo factor tamén é catro, pero por unha razón diferente do primeiro. Ao principio excluímos o cero; na segunda posición excluímos o símbolo xa utilizado. O cero está permitido nesa posición.

Como comprobación alternativa para o caso B, todos os códigos sen repetición serían 5·4·3·2 = 120. Os que comezan por cero son 1·4·3·2 = 24. Restando, 120−24 = 96.

Non dividimos por 4! porque cambiar as posicións cambia o código. Tampouco tratamos o código como un número de catro cifras para eliminar automaticamente outras opcións: só aplicamos as restricións expresamente indicadas.

Terceiro exercicio: unha comisión con representación mínima

Datos. Hai cinco estudantes do grupo A e catro do grupo B, todos distintos. Escollemos unha comisión de tres persoas sen cargos. Debe haber polo menos unha persoa de cada grupo.

Podemos separar casos incompatibles: dúas de A e unha de B, ou unha de A e dúas de B.

No primeiro caso: C(5,2)·C(4,1) = 10·4 = 40. No segundo: C(5,1)·C(4,2) = 5·6 = 30. Como ningunha comisión pertence aos dous casos, sumamos: 70 comisións válidas.

Comprobamos por complemento. Todas as comisións posibles son C(9,3) = 84. As formadas só por A son C(5,3) = 10 e as formadas só por B, C(4,3) = 4. Polo tanto, 84−10−4 = 70.

A expresión «polo menos unha de cada grupo» non significa «exactamente unha de cada grupo», pois unha comisión ten tres integrantes. Tampouco multiplicamos 5·4·7 sen corrixir repeticións: ese procedemento distingue seleccións intermedias que poden rematar na mesma comisión e contala máis dunha vez.

Sumar casos ou multiplicar decisións

Multiplicamos cando un resultado require varias eleccións sucesivas: escoller primeiro un cargo e despois outro. Sumamos cando separamos resultados en casos que non se solapan: dúas persoas dun grupo fronte a unha dese grupo.

Se os casos se solapan, sumar directamente duplica opcións. Antes de operar, escribe unha frase que identifique cada caso e comproba se un mesmo resultado podería cumprir dous deles.

A práctica de probabilidade sen reposición usa condicións parecidas para calcular probabilidades. Aquí estamos nun paso previo: construír correctamente o número de resultados, sen afirmar que todos teñan a mesma probabilidade.

Preguntas frecuentes

Cando importa a orde nun reconto?

Importa cando intercambiar dous elementos produce un resultado diferente segundo o enunciado, como cambiar quen ocupa cada cargo ou que símbolo vai en cada posición.

Podo dividir sempre por un factorial?

Non. Só debes facelo se coñeces exactamente cantas ordenacións representan o mesmo resultado e todas as opcións contadas teñen esa mesma multiplicidade.

Repetición permitida significa que todos os símbolos deben repetirse?

Non. Significa que un símbolo pode aparecer máis dunha vez; tamén están incluídos os códigos nos que non se repite ningún.

Define unha opción e comproba que só a contas unha vez

Antes de aplicar unha fórmula, escribe un exemplo válido e outro que cambie unicamente a orde. Decide se son iguais ou distintos para o problema. Despois resolve os tres exercicios por un segundo método cando sexa posible. Para integrar este reconto coa práctica de probabilidade, consulta Matemáticas II para Galicia e revisa a información de compra do curso.