Producto vectorial: área del triángulo y plano PAU

Con tres puntos del espacio puedes resolver dos tareas relacionadas: calcular el área del triángulo que forman y hallar el plano que los contiene. El producto vectorial sirve para ambas porque proporciona una dirección perpendicular a sus lados y un módulo con significado geométrico.

Pero el resultado vectorial no es todavía un área. Primero debes obtener su módulo y después dividir entre dos. Tampoco puedes escribir una ecuación de plano con un vector normal nulo. Los ejercicios originales de esta práctica muestran cómo comprobar cada paso.

Construir dos lados con el mismo origen

Dados A, B y C, toma u=AB=B−A y v=AC=C−A. Para u=(u₁,u₂,u₃), v=(v₁,v₂,v₃):

u×v=(u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁).

El área del triángulo es S=|u×v|/2. Si n=u×v no es cero, el plano tiene ecuación n·((x,y,z)−A)=0.

No hace falta que n sea unitario para escribir el plano. Multiplicar una normal por un número no nulo conserva el mismo conjunto de puntos. En cambio, para calcular el área debes utilizar el módulo del producto real, sin sustituirlo por una normal simplificada arbitrariamente.

Ejercicio 1: un triángulo no paralelo a los ejes

Sean A=(1,0,1), B=(3,1,1) y C=(1,2,3). Calcula el área y el plano.

Paso 1. Lados: u=(2,1,0) y v=(0,2,2).

Paso 2. Producto: u×v=(1·2−0·2, 0·0−2·2, 2·2−1·0)=(2,−4,4).

Paso 3. Módulo: |u×v|=√(4+16+16)=6. Así, S=3 unidades cuadradas.

Paso 4. Plano: 2(x−1)−4y+4(z−1)=0. Simplificando, x−2y+2z−3=0.

Paso 5. Verificar puntos: A da 1+2−3=0; B da 3−2+2−3=0; C da 1−4+6−3=0. Los tres pertenecen al plano.

También comprobamos perpendicularidad: (2,−4,4)·(2,1,0)=4−4=0 y su producto escalar con (0,2,2) es −8+8=0.

Este doble control permite localizar errores de signo. La comprobación de un único punto no basta: el plano puede pasar por A y tener una orientación equivocada.

Ejercicio 2: simplificar la normal sin alterar el área

Para el triángulo anterior, n=(2,−4,4) puede sustituirse por n’=(1,−2,2) al escribir el plano. Su módulo es 3.

Si alguien usa n’ para obtener S=3/2, comete un error. n’ es una normal válida, pero no es el producto vectorial original de AB y AC: se ha dividido entre dos.

El área correcta sigue siendo |(2,−4,4)|/2=3. La fórmula depende de los lados concretos, no de cualquier vector perpendicular al plano.

Otra forma de verlo es tomar B como origen: BA=(−2,−1,0) y BC=(−2,1,2). Su producto es (−2,4,−4), de módulo 6. Cambia la orientación elegida, pero no el área geométrica.

Este ejercicio distingue dos usos de una misma información: la dirección basta para el plano; la magnitud también importa para el área.

Ejercicio 3: una familia de puntos y un área prescrita

Sean A=(0,0,0), B=(2,0,0) y C=(0,t,3), con t real. Encuentra t para que el triángulo tenga área 5.

AB=(2,0,0), AC=(0,t,3). El producto vectorial es (0,−6,2t), cuyo módulo es √(36+4t²).

Entonces S=√(36+4t²)/2=√(9+t²). Imponiendo S=5, se obtiene 9+t²=25 y t²=16. Por tanto, t=+4 o t=−4.

No descartes la solución negativa: t es una coordenada, no una longitud. Ambas dan la misma área porque interviene t².

Para t=4, una normal simplificada es (0,−3,4) y el plano es −3y+4z=0. Para t=−4, puede usarse (0,−3,−4), de modo que el plano es −3y−4z=0. Los triángulos tienen igual área, pero pertenecen a planos distintos.

Como revisión, el área mínima de esta familia es 3, alcanzada en t=0. Un enunciado que pidiera área 2 no tendría soluciones reales.

Cuándo los puntos están alineados

Considera A=(1,1,1), B=(2,3,4) y C=(3,5,7). AB=(1,2,3) y AC=(2,4,6)=2AB. Su producto vectorial es cero.

El área del triángulo degenerado es cero y estos tres puntos no determinan un plano único. Hay infinitos planos que contienen la recta. La expresión 0x+0y+0z=0 no selecciona ninguno: la cumplen todos los puntos del espacio.

Una plantilla de comprobación que conserva el significado

Escribe los lados, el producto vectorial sin simplificar, su módulo y el área. Sólo después simplifica la normal para el plano.

Si tu plano no contiene los tres puntos, revisa la ecuación. Si los contiene pero el área falla, comprueba si usaste una normal reescalada o olvidaste la mitad del paralelogramo. Son controles diferentes y cada uno encuentra un tipo de error.

Para conectar esta práctica con el bloque general, consulta el artículo relacionado de Matemáticas II. Puedes repasar relaciones y conceptos con el recurso gratuito de Matemáticas II; su descarga no acredita que se permita llevarlo al examen.

Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los enunciados, cifras y desarrollos de esta página son originales; no son ejercicios oficiales ni implican frecuencia de aparición en una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿El producto vectorial es el área del triángulo?

No directamente. Su módulo da el área del paralelogramo de los dos vectores; el triángulo tiene la mitad de esa área.

¿Cambiar el orden de los vectores cambia el área?

Cambia el signo del vector normal, pero no su módulo. Por tanto, el área permanece igual.

¿Tres puntos siempre determinan un plano único?

Sólo si no están alineados. Si el producto vectorial de los dos lados es cero, no obtienes una normal no nula ni un plano único.

Usa la misma normal para verificar área y plano

Recalcula la normal cambiando el origen de los lados. El módulo debe conservarse; comprueba los tres puntos en el plano y explica por qué simplificar una normal no conserva por sí solo la fórmula del área.

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