Polaritzadors i Malus: intensitat amb dos i tres filtres

Dos filtres polaritzadors poden bloquejar tota la llum en un model ideal i, tanmateix, deixar passar-ne una part si inserim un tercer filtre entre ells. La clau és seguir la polarització després de cada etapa, en lloc d’aplicar una sola vegada l’angle entre el primer i l’últim.

Aquesta pràctica separa llum no polaritzada, llum polaritzada linealment i eixos de transmissió. Els filtres són ideals: no hi ha pèrdues addicionals, reflexions ni despolarització entre etapes. Les intensitats són dades hipotètiques, sense atribució a una prova oficial.

Quina intensitat entra a cada fórmula?

Per a llum polaritzada linealment que arriba a un filtre ideal, la llei de Malus és I_sortida = I_entrada·cos²θ. L’angle θ es mesura entre la direcció de polarització incident i l’eix de transmissió d’aquell filtre.

La llum que surt queda polaritzada segons l’eix del filtre. Per calcular l’etapa següent, utilitzem aquesta nova direcció, no necessàriament la direcció que tenia la llum abans de començar.

Si la llum inicial és no polaritzada i estadísticament uniforme en direccions transversals, el primer polaritzador ideal transmet la meitat de la intensitat. Aquest factor 1/2 no s’ha d’aplicar automàticament a cada filtre posterior: la llum ja està polaritzada.

La secció de polarització d’OpenStax explica la relació entre component del camp i intensitat. La intensitat és proporcional al quadrat de l’amplitud; per això apareix cos²θ, i no només cosθ.

Primer exercici: un feix ja polaritzat

Un feix polaritzat linealment té intensitat 90,0 W/m². Arriba a un filtre amb l’eix a 60° respecte de la seva polarització. Calcula la intensitat transmesa.

Tenim cos60° = 1/2. El seu quadrat és 1/4. Per tant:

I_sortida = 90,0 × 1/4 = 22,5 W/m².

La transmissió és el 25,0 % de la intensitat incident; la disminució és el 75,0 %. No són dues maneres d’escriure el mateix percentatge: una descriu el que queda i l’altra el que s’ha eliminat del feix transmès.

No dividim primer entre dos. El feix ja estava polaritzat i la llei de Malus parteix directament dels 90,0 W/m² indicats. Introduir el factor de la llum no polaritzada donaria 11,25 W/m² i comptaria una pèrdua que no correspon al model.

Com a control, un filtre alineat transmetria els 90,0 W/m² ideals i un de perpendicular en transmetria zero. El resultat obtingut queda dins d’aquest interval.

Segon exercici: començar amb llum no polaritzada

Ara arriba llum no polaritzada d’intensitat 120 W/m² a dos filtres ideals consecutius. El primer té eix a 0° i el segon a 60°, respecte d’una mateixa referència transversal.

Després del primer filtre queden 60,0 W/m² i la llum està polaritzada a 0°. A la segona etapa, l’angle entre la polarització incident i l’eix és 60°.

La intensitat final és 60,0·cos²60° = 15,0 W/m². Representa el 12,5 % dels 120 W/m² inicials.

La seqüència correcta és una reducció a la meitat i després una projecció quadràtica. Aplicar només 120·cos²60° donaria 30 W/m², perquè ignoraria la primera selecció. Dividir dues vegades entre dos i aplicar Malus afegiria una reducció injustificada.

Els angles 0° i 60° descriuen els eixos en una mateixa referència. Si giréssim tots dos filtres 20° i la llum continués sent inicialment no polaritzada, la diferència entre eixos seguiria sent 60° i el resultat ideal seria el mateix.

Tercer exercici: inserir un filtre entre dos de creuats

Partim de llum no polaritzada de 120 W/m². Els filtres extrems tenen eixos a 0° i 90°. Sense filtre intermedi, després del primer queden 60 W/m², però el segon rep llum perpendicular al seu eix i transmet zero.

Inserim ara un polaritzador a 30° entre els dos. Després del primer continuen havent-hi 60 W/m². El filtre intermedi transmet:

60·cos²30° = 60·3/4 = 45,0 W/m².

Aquesta llum surt polaritzada a 30°. L’angle fins al filtre final de 90° és 60°, de manera que la intensitat final és:

45,0·cos²60° = 11,25 W/m².

No hem creat energia. El feix final és menys intens que el feix inicial, però la selecció intermèdia ha canviat la direcció de polarització que arriba al darrer filtre. Per això deixa de ser perpendicular a aquell eix.

Si col·loquéssim el filtre de 30° després del filtre de 90°, els dos primers ja haurien anul·lat el feix ideal i l’últim no recuperaria llum. L’ordre de les etapes forma part del problema.

Quin angle intermedi transmet més?

Mantenim els extrems a 0° i 90°, i situem el filtre intermedi a un angle α entre tots dos. La intensitat final és:

I_final = 60·cos²α·cos²(90° − α).

Com que cos(90° − α) = sinα, podem escriure I_final = 60·cos²α·sin²α = 15·sin²(2α).

El màxim és 15,0 W/m², assolit a α = 45° dins de l’interval considerat. El filtre de 30° transmetia 11,25 W/m²: és coherent que no arribi al màxim.

Aquesta expressió també dona zero si α és 0° o 90°, perquè aleshores queden dues etapes consecutives amb eixos perpendiculars. És un control dels extrems que ajuda a revisar el desenvolupament.

Anota la direcció després de cada etapa

En una cadena de filtres, una taula amb intensitat entrant, angle relatiu i intensitat sortint evita confondre angles absoluts amb diferències. Escriu també si la llum entrant ja està polaritzada.

El repàs d’ones i òptica connecta aquesta activitat amb el caràcter transversal de la llum. El formulari de Física ajuda a estudiar les relacions, sense implicar que es pugui portar a qualsevol prova.

Preguntes freqüents

Cada polaritzador ideal redueix sempre la intensitat a la meitat?

No. La meitat correspon al primer filtre amb llum no polaritzada; amb llum polaritzada cal considerar l’angle de Malus.

L’angle de Malus és sempre l’angle respecte del primer filtre?

No. És l’angle entre la polarització que arriba i l’eix del filtre que estàs calculant.

Un filtre intermedi entre dos de creuats crea energia?

No. Pot modificar la polarització que arriba a l’últim filtre, però la intensitat final no supera la inicial en aquest model passiu.

Segueix intensitat i direcció filtre a filtre

Refes el tercer exercici amb el filtre intermedi a 60° i compara el resultat amb 30°. Explica després per què tots dos donen menys transmissió que 45°.

Per continuar resolent òptica amb hipòtesis explícites, consulta Física per a Catalunya i revisa els continguts, el preu i les condicions actuals de compra. Les instruccions de la convocatòria s’han de consultar separadament.