Muelle vertical: equilibrio, amplitud y energía resueltos

Colgar una masa de un muelle no convierte automáticamente el alargamiento estático en amplitud. La amplitud depende de cómo comienza el movimiento respecto al nuevo equilibrio. Si la masa se coloca lentamente y se deja quieta, el muelle queda estirado y no oscila.

Vamos a separar tres distancias: longitud natural, posición de equilibrio y desplazamiento durante la oscilación. El modelo es un muelle ideal sin masa, lineal, que puede ejercer fuerzas de tracción y compresión, con una masa unida permanentemente. Despreciamos rozamiento y usamos gravedad uniforme g = 9,80 m/s². Los ejercicios son originales.

Dos orígenes para una sola posición

Llamamos y al alargamiento medido hacia abajo desde la longitud natural. La fuerza neta es F = mg − ky.

En equilibrio, mg = ky_eq, así que y_eq = mg/k. Si definimos x = y − y_eq, la fuerza neta pasa a ser F = −kx. Es x, y no y, el desplazamiento que entra directamente en la ecuación del MAS.

La gravedad desplaza el equilibrio en este modelo; no cambia ω = √(k/m) para una masa y una constante elástica dadas. El desarrollo se puede contrastar en OpenStax, movimiento vertical de un muelle, apartado de movimiento vertical.

No extrapolamos ese resultado a un muelle real fuera de su régimen lineal ni a una masa que pierda contacto o se desprenda.

Ejercicio 1: medir el alargamiento de equilibrio

Una masa de 0,500 kg cuelga de un muelle de constante k = 49,0 N/m. Calcula el alargamiento de equilibrio.

El peso es mg = 0,500 × 9,80 = 4,90 N. Por tanto:

y_eq = 4,90/49,0 = 0,100 m.

La masa puede permanecer en reposo a esa posición. Su amplitud sería entonces cero, aunque el muelle esté estirado 10,0 cm respecto a su longitud natural.

La frecuencia angular es √(49,0/0,500) = √98 ≈ 9,90 rad/s. El periodo es 2π/√98 ≈ 0,635 s. Estos valores describen una posible oscilación pequeña del sistema; calcularlos no demuestra que la masa esté oscilando.

Ejercicio 2: soltar desde la longitud natural

Ahora sujetamos esa masa con y₀ = 0, sin estiramiento, y la soltamos desde el reposo. La conexión al muelle permanece intacta.

Respecto al equilibrio, x₀ = y₀ − y_eq = −0,100 m. Como v₀ = 0, la masa empieza en un extremo y la amplitud es A = 0,100 m.

Los extremos respecto a la longitud natural son:

y_min = y_eq − A = 0;

y_max = y_eq + A = 0,200 m.

El máximo alargamiento es el doble del estático en esta condición inicial concreta. No es una regla para cualquier forma de soltar la masa. Si se liberase desde otra posición o con velocidad, cambiaría A.

Al atravesar el equilibrio, la rapidez alcanza ωA = √98 × 0,100 ≈ 0,990 m/s. Allí la fuerza neta y la aceleración son cero, pero la velocidad no: equilibrio instantáneo de fuerzas no equivale a reposo.

Ejercicio 3: alargamiento inicial y velocidad

En otra oscilación del mismo sistema, y₀ = 0,120 m y v₀ = +0,300 m/s, con el signo positivo hacia abajo. No reutilices la amplitud anterior.

El desplazamiento inicial desde el equilibrio es x₀ = 0,120 − 0,100 = 0,0200 m. La amplitud satisface:

A² = x₀² + v₀²/ω².

A² = 0,0200² + 0,300²/98 ≈ 0,00131837 m².

Por tanto, A ≈ 0,0363 m. Los extremos de alargamiento serán aproximadamente 0,0637 m y 0,1363 m.

La aceleración inicial es a₀ = −ω²x₀ = −98 × 0,0200 = −1,96 m/s²: apunta hacia arriba, aunque la masa comienza moviéndose hacia abajo. Tener velocidad y aceleración de signos opuestos significa que inicialmente disminuye la rapidez.

Asignar A = 0,120 m confundiría el origen natural con el equilibrio. Asignar A = 0,0200 m ignoraría la energía cinética inicial.

La energía elástica sola no es la energía potencial total

Con y positivo hacia abajo, podemos escribir:

U_total(y) = ky²/2 − mgy.

El primer término es energía del muelle; el segundo, energía gravitatoria con el cero elegido en y = 0. Completando el cuadrado:

U_total = k(y − y_eq)²/2 − k y_eq²/2.

La última cantidad es constante. Por eso la energía de oscilación, medida desde el mínimo potencial, es E_osc = mv²/2 + kx²/2 = kA²/2.

Para el tercer ejercicio, E_osc = 0,500 × 0,300²/2 + 49,0 × 0,0200²/2 = 0,0225 + 0,00980 = 0,0323 J.

En cambio, la energía potencial elástica inicial es 49,0 × 0,120²/2 = 0,3528 J. No contradice el resultado: mide otro término y utiliza otra referencia.

Comprobación energética del caso soltado sin estirar

En el segundo ejercicio, y empieza en cero y la masa está en reposo: la energía mecánica total con nuestra referencia es cero. En el extremo inferior y = 0,200 m:

U_elástica = 49,0 × 0,200²/2 = 0,980 J;

U_gravitatoria = −0,500 × 9,80 × 0,200 = −0,980 J.

La suma vuelve a cero y la velocidad es nula. La energía del muelle aumenta mientras disminuye la gravitatoria. No aparece energía de la nada ni corresponde conservar únicamente ky²/2.

Para relacionar esta distinción con el caso horizontal, revisa la práctica de energía en el MAS. El formulario gratuito de Física sirve como material de estudio, sin acreditar que pueda utilizarse durante una prueba.

Preguntas frecuentes

¿El alargamiento estático es siempre la amplitud?

No. El alargamiento estático fija el equilibrio; la amplitud depende de la posición y la velocidad iniciales respecto a ese equilibrio.

¿La gravedad cambia el periodo del muelle ideal?

En el modelo lineal con gravedad uniforme, desplaza el equilibrio y no cambia el periodo 2π√(m/k) para los mismos m y k.

¿Puedo conservar sólo la energía elástica?

No en el movimiento vertical. Hay que incluir la energía gravitatoria o utilizar la energía de oscilación medida respecto al mínimo del potencial total.

Marca el equilibrio antes de elegir la amplitud

Dibuja las marcas y = 0, y_eq y los extremos de cada oscilación. Después cambia únicamente la velocidad inicial del tercer ejercicio y comprueba cómo cambia A mientras permanece fijo el equilibrio.

Para seguir practicando, consulta Física de la Región de Murcia y revisa contenido, precio y condiciones de compra. Los supuestos de estos ejemplos no sustituyen la lectura de cada enunciado ni las instrucciones de tu convocatoria.