Integrales con logaritmos: partes o sustitución PAU

Ver un logaritmo dentro de una integral no obliga a utilizar siempre el mismo método. La elección depende de qué lo acompaña: un polinomio puede sugerir integración por partes, mientras que un factor 1/x puede ser exactamente su derivada y permitir una sustitución.

Vamos a comparar cuatro ejercicios originales, con una evaluación definida incluida. Trabajamos con logaritmos naturales y variables reales. En todas las expresiones que contienen ln(x), el dominio considerado es x>0; no ampliamos la respuesta a valores donde el integrando no estaba definido.

Dos mecanismos que conviene distinguir

La fórmula por partes es ∫u dv=uv−∫v du. Procede de integrar la regla de derivación de un producto. Su utilidad es transformar una integral en otra más sencilla, no asignar de memoria una letra a cada factor sin mirar el resultado.

La sustitución utiliza una composición y su derivada. Si t=ln(x), entonces dt=dx/x. Por eso ln(x)/x se comporta de una manera diferente a x²ln(x), aunque ambos integrandos contengan el mismo logaritmo.

Antes de elegir, escribe el dominio y busca una relación derivada-función. Después plantea las operaciones simbólicas y termina comprobando la primitiva mediante derivación. Esa comprobación decide si el resultado es correcto aunque hayas seguido otro camino válido.

Ejercicio 1: un polinomio por un logaritmo

Calcula ∫x²ln(x) dx para x>0.

Paso 1. Elegir u y dv. Tomamos u=ln(x), de modo que du=dx/x. La otra parte es dv=x²dx, que se integra como v=x³/3.

Paso 2. Aplicar partes. La integral es (x³/3)ln(x)−∫(x³/3)(1/x)dx.

Paso 3. Simplificar antes de integrar. Dentro de la integral queda x²/3. Por tanto, el resultado es (x³/3)ln(x)−x³/9+C.

Paso 4. Derivar. La derivada del primer término es x²ln(x)+x²/3. La del segundo es −x²/3. Los términos adicionales se cancelan y recuperamos x²ln(x).

No hemos multiplicado la primitiva de x² por la de ln(x). La regla del producto para derivadas contiene dos términos, y justamente esa estructura explica la resta que aparece en integración por partes.

Ejercicio 2: evaluar entre 1 y e

Calcula ∫ de 1 a e de x²ln(x) dx. El intervalo pertenece por completo al dominio positivo y no hay singularidades.

Paso 1. Usar la primitiva anterior. F(x)=(x³/3)ln(x)−x³/9.

Paso 2. Extremo superior. Como ln(e)=1, F(e)=e³/3−e³/9=2e³/9.

Paso 3. Extremo inferior. ln(1)=0, pero F(1) no vale cero: queda −1/9.

Paso 4. Restar. F(e)−F(1)=(2e³+1)/9, aproximadamente 4,575.

Este control evita olvidar el término no logarítmico en el extremo inferior. Además, el integrando es no negativo en [1,e], así que la integral positiva es coherente con su signo. La constante C se cancela al evaluar los dos extremos.

Ejercicio 3: cuando conviene sustituir

Calcula ∫ln(x)/x dx para x>0. Aquí escoger partes sería posible, pero no es necesario.

Paso 1. Cambio. Sea t=ln(x), de modo que dt=dx/x.

Paso 2. Integrar. Obtenemos ∫t dt=t²/2+C.

Paso 3. Volver a x. La respuesta es ½[ln(x)]²+C.

Paso 4. Comprobar. Al derivar, ½·2ln(x)·1/x=ln(x)/x. La relación entre el logaritmo y su derivada ha simplificado el problema directamente.

El factor 1/x no se puede borrar sin explicar el cambio de variable. Es precisamente lo que convierte dx en dt. Si el integrando fuera x·ln(x), esta sustitución no produciría la misma integral sencilla.

Ejercicio 4: partes dos veces para un cuadrado

Calcula ∫[ln(x)]² dx en el mismo dominio.

Paso 1. Primera elección. u=[ln(x)]² y dv=dx. Entonces du=2ln(x)dx/x y v=x.

Paso 2. Aplicar. Obtenemos x[ln(x)]²−2∫ln(x)dx.

Paso 3. Resolver la integral restante. Para ∫ln(x)dx, tomamos u=ln(x) y dv=dx. Resulta xln(x)−x.

Paso 4. Reunir. La primitiva es x[ln(x)]²−2xln(x)+2x+C.

Al derivar, los términos 2ln(x), −2ln(x), −2 y +2 se cancelan y queda [ln(x)]². La comprobación no exige desarrollar potencias numéricas ni elegir un valor concreto de x.

Dominio y comprobación no son detalles finales

ln(x) y ln|x| no son exactamente el mismo integrando real sobre el mismo dominio. Si se plantea una integral con ln|x|, se puede estudiar por separado en intervalos positivos y negativos; no debe insertarse ese valor absoluto para ocultar que el ejercicio original requería x>0.

En una indefinida, añade la constante y explica el intervalo de validez. En una definida, comprueba además que la primitiva y el teorema utilizado se apliquen en todo el intervalo. Un extremo donde el logaritmo no está definido cambiaría la naturaleza del problema y no se resuelve sustituyendo sin más.

La elección de método puede justificarse con una sola frase concreta: en el primer ejercicio, derivar el logaritmo convierte el resto en una potencia; en el tercero, el factor 1/x ya proporciona su diferencial. Eso explica más que escribir únicamente «por partes» o «por cambio».

Material para seguir practicando

Relaciona este ejercicio con la explicación de referencia. Puedes consultar también el recurso gratuito. Es un apoyo de estudio; descargarlo no implica matrícula ni sustituye las instrucciones oficiales de tu convocatoria.

La base conceptual se puede contrastar en esta fuente del editor académico. Los datos numéricos y las preguntas de esta página son originales y didácticos; no se atribuyen a un examen oficial.

Preguntas frecuentes

¿Toda integral que contiene un logaritmo se hace por partes?

No. Si aparece la derivada de la expresión logarítmica como factor, una sustitución puede simplificarla directamente.

¿La primitiva de x²ln(x) es el producto de las primitivas?

No. No existe una regla general que permita integrar un producto multiplicando primitivas.

¿Puedo usar estos resultados para x negativo?

Las expresiones con ln(x) de estos ejercicios se plantean para x>0; otro dominio requiere reformular el integrando y comprobarlo.

Deriva tu respuesta y conserva el dominio original

Una derivación final debe devolver exactamente el integrando en su dominio. Si aparece ln(x), conserva x>0 también al evaluar extremos y al interpretar el resultado. Para preparar la asignatura con un itinerario más amplio, consulta el curso disponible y revisa su comunidad, precio y condiciones antes de comprar. Si preparas otra comunidad, elige la tuya desde el catálogo PAU.