Funciones a trozos: continuidad y derivabilidad PAU

En una función a trozos con parámetros, las ecuaciones no se obtienen todas del mismo sitio. Una conecta las alturas de las ramas y otra puede conectar sus pendientes. La igualdad que asigna el valor exacto en el punto tampoco puede omitirse.

Los ejercicios siguientes son originales y se concentran en el punto de unión. Fuera de él las ramas indicadas son polinómicas, salvo el cociente removible del último caso. Esta elección permite dedicar el trabajo a interpretar continuidad y derivabilidad, sin añadir dificultades de dominio que oculten el objetivo.

Tres valores antes de dos pendientes

Para estudiar continuidad en x = a compara límite izquierdo, límite derecho y f(a). Los tres deben existir y coincidir. Para estudiar derivabilidad, una vez asegurada la continuidad, compara los cocientes incrementales laterales.

Cuando cada rama es suave y se empalma con su valor límite, puedes obtener esas pendientes derivando las ramas y evaluando en el punto. Sin continuidad, la derivada de una fórmula de rama no es automáticamente la derivada lateral de la función completa en la unión. El cociente incremental utiliza el valor real f(a).

Ejercicio 1: dos parámetros y un empalme suave

Enunciado. Definimos f(x) = x² + ax si x < 1 y f(x) = bx + 2 si x ≥ 1. Encuentra a y b para que sea derivable en uno.

Paso 1: continuidad. Por la izquierda el límite es 1 + a. Por la derecha, y también como valor f(1), obtenemos b + 2. Igualarlos da a − b = 1.

Paso 2: pendientes. La primera rama deriva como 2x + a y la segunda como b. En la unión necesitamos 2 + a = b.

Paso 3: sistema. De la primera ecuación, a = b + 1. Sustituyendo en la segunda: 2 + b + 1 = b, es decir, 3 = 0. No existe ninguna pareja de parámetros que cumpla ambas condiciones.

El resultado «no existe» es una solución completa, no una señal de que debas buscar una división olvidada. La estructura de esas dos familias impide un empalme suave en uno.

Comprobación. Si impones únicamente continuidad, b = a − 1. La pendiente izquierda vale a + 2 y la derecha a − 1: siempre difieren en tres. El salto de pendiente no desaparece al elegir otro a.

Ejercicio 2: un empalme que sí admite solución

Enunciado. Sea g(x) = x² + a si x < 2 y g(x) = bx − 1 si x ≥ 2. Encuentra los parámetros que hacen derivable la función en dos y calcula la recta tangente allí.

Paso 1: continuidad. El límite izquierdo es 4 + a. El derecho y g(2) valen 2b − 1. Necesitamos 4 + a = 2b − 1.

Paso 2: derivabilidad. La derivada izquierda de la rama cuadrática en dos es 4; la derecha es b. Por tanto, b = 4.

Paso 3: parámetro restante. 4 + a = 8 − 1 = 7, luego a = 3. La función vale siete en la unión y ambas pendientes valen cuatro.

Paso 4: tangente. y − 7 = 4(x − 2), por lo que y = 4x − 1. Coincide con la rama derecha porque esa rama ya es una recta con la misma pendiente y pasa por el punto.

Comprobación con incrementos. Para h < 0, g(2 + h) = (2 + h)² + 3 = 7 + 4h + h². El cociente [g(2 + h) − g(2)]/h es 4 + h y tiende a cuatro. Para h > 0 el cociente es exactamente cuatro. Este cálculo utiliza el valor de g(2) y verifica el empalme sin depender solo de reglas de derivación.

Ejercicio 3: el valor aislado de una discontinuidad removible

Enunciado. Definimos h(x) = (x² − 9)/(x − 3) si x ≠ 3 y h(3) = k. Encuentra k para que h sea continua y estudia entonces su derivabilidad.

Paso 1: simplifica con condición. Para x ≠ 3, (x² − 9)/(x − 3) = x + 3. La cancelación no asigna por sí sola el valor en tres: ese valor lo fija k.

Paso 2: límite. Los dos lados tienden a seis. Para continuidad se requiere k = 6.

Paso 3: cociente incremental. Con ese valor, [h(3 + u) − h(3)]/u = [(6 + u) − 6]/u = 1 para u ≠ 0. Por tanto, h′(3) = 1.

Si k fuera cinco, las fórmulas fuera de tres seguirían teniendo pendiente uno, pero la función tendría un hueco mal rellenado. El cociente incremental sería (1 + u)/u y no tendría límite finito. Este contraste explica por qué no basta con derivar la expresión simplificada sin comprobar el valor definido.

Un dibujo que revisa las ecuaciones

Marca primero un punto abierto para la rama que excluye la unión y uno cerrado para el valor incluido. Después comprueba si las alturas coinciden. Solo entonces compara las inclinaciones. En el primer ejercicio los valores pueden unirse, pero aparece una esquina; en el segundo se unen con la misma pendiente; en el tercero el valor aislado decide si el hueco se rellena correctamente.

Cómo escribir una conclusión completa

Distingue «continua para…», «derivable para…» y «no existe solución conjunta». Sustituye los parámetros obtenidos en las condiciones originales, no únicamente en el sistema reducido. Esta revisión detecta errores de signos e identifica cuándo una contradicción es el resultado matemático que buscabas.

Para situar esta práctica en el bloque, consulta el artículo relacionado de Matemáticas II. Puedes repasar las expresiones y el vocabulario con el recurso gratuito de Matemáticas II; es una ayuda de estudio, no material autorizado automáticamente para llevar al examen.

Referencia conceptual en inglés: OpenStax, apartado 1; OpenStax, apartado 2. Los datos y desarrollos de los ejercicios son originales de redbachiller.

Preguntas frecuentes

¿Basta con igualar derivadas para encontrar los parámetros?

No. Primero hay que imponer que los límites laterales coincidan con el valor de la función. Igualar pendientes de ramas separadas por un salto no vuelve derivable al conjunto.

¿Qué rama determina el valor en el punto de unión?

La que incluye ese punto mediante el signo de igualdad, o el valor aislado definido expresamente. Los límites laterales utilizan las ramas de sus respectivos lados.

¿Una función continua puede tener derivadas laterales distintas?

Sí. Entonces no es derivable en el punto de unión. La continuidad une los valores de las ramas, pero no obliga a que sus pendientes coincidan.

Practica el siguiente problema con un criterio claro

Resuelve de nuevo uno de los casos cambiando un dato y explica qué parte del procedimiento permanece igual. Comprueba el resultado con las condiciones del modelo y anota el primer paso que necesitarías revisar, en lugar de repetir únicamente el número final.

Si te examinas en Murcia, puedes consultar la preparación de Matemáticas II para la PAU de Murcia, disponible para compra según el catálogo consultado. La ficha muestra el precio y las condiciones actuales. Elige la comunidad donde te examinas: estos problemas genéricos no sustituyen sus instrucciones oficiales ni garantizan contenidos o puntuaciones de 2027.