Espectre de l’hidrogen: transicions, cascada i ionització

Una línia espectral no representa l’energia absoluta d’un nivell atòmic, sinó la diferència entre dos nivells. Si confonem una energia negativa de l’àtom amb l’energia del fotó emès, podem obtenir una longitud d’ona sense sentit.

Treballarem amb un model simplificat de l’hidrogen: E_n = −13,6/n² eV, amb n enter positiu. Fixem hc = 1240 eV·nm per convertir energia de fotó en longitud d’ona. Els arrodoniments són didàctics; no estudiarem estructura fina, amplades de línia ni correccions isotòpiques.

El signe descriu l’estat de l’àtom

El nivell zero d’energia correspon al límit d’ionització del model. Els estats lligats tenen energia negativa. Com més gran és n, més propera a zero és l’energia i menys energia addicional cal per ionitzar des d’aquell nivell.

En una emissió, l’àtom passa d’un nivell d’energia més alta a un de més baixa. La variació de l’energia atòmica és negativa, però el fotó emès té energia positiva: E_fotó = E_inicial − E_final.

En una absorció entre estats lligats, el fotó ha d’aportar la diferència positiva entre el nivell final i l’inicial dins de l’aproximació indicada. No podem escollir qualsevol n decimal per acomodar una energia que no coincideix.

El model i la relació amb les línies de l’hidrogen es poden contrastar a OpenStax, model de Bohr. Els tres exercicis següents utilitzen preguntes i comparacions originals.

Primer exercici: emissió des de n = 5 fins a n = 2

Calcula els dos nivells, l’energia del fotó i la seva longitud d’ona.

Per a n = 5, E₅ = −13,6/25 = −0,544 eV. Per a n = 2, E₂ = −13,6/4 = −3,400 eV. L’estat inicial té energia més alta encara que el seu valor absolut sigui menor.

L’energia emesa és E₅ − E₂ = −0,544 − (−3,400) = 2,856 eV. La longitud d’ona és:

λ = 1240/2,856 ≈ 434,2 nm.

No fem servir −0,544 eV com a energia del fotó ni canviem el signe del resultat a última hora. La diferència entre nivells explica per què el fotó és positiu.

La transició acaba a n = 2 i pertany a la sèrie de Balmer dins d’aquest model. Aquesta classificació depèn del nivell final, no del fet que hàgim començat a n = 5.

Com a control, una energia de fotó més gran, amb el mateix valor de hc, correspondria a una longitud d’ona més petita. Energia i longitud d’ona no creixen juntes en aquesta relació.

Segon exercici: caiguda directa o en dues etapes

Compareu dos recorreguts possibles des de n = 5 fins a n = 1: una transició directa i una cascada indicada n = 5 → n = 3 → n = 1. No demanem probabilitats ni afirmem que tots els àtoms segueixin el mateix recorregut.

El nivell fonamental és E₁ = −13,6 eV. La transició directa emet un fotó d’energia:

E₅ − E₁ = −0,544 − (−13,6) = 13,056 eV.

La seva longitud d’ona és 1240/13,056 ≈ 94,98 nm. En el recorregut directe hi ha un sol fotó.

Per a la cascada, E₃ = −13,6/9 ≈ −1,51111 eV. La primera emissió té energia E₅ − E₃ ≈ 0,96711 eV; la segona, E₃ − E₁ ≈ 12,08889 eV.

La suma és 0,96711 + 12,08889 = 13,056 eV, la mateixa diferència total entre estats inicial i final. Però són dos fotons amb energies diferents, no un fotó repartit en dues deteccions.

Les longituds d’ona corresponents són aproximadament 1282 nm i 102,6 nm. No les sumem per obtenir 94,98 nm: el que es conserva en aquest balanç és la suma d’energies, i λ depèn inversament de l’energia.

Aquest control telescòpic és útil: en sumar E₅ − E₃ i E₃ − E₁, el nivell intermedi es cancel·la. L’energia total depèn dels extrems, mentre que el nombre i les energies individuals dels fotons depenen del recorregut especificat.

Tercer exercici: absorció lligada i ionització

Un àtom d’hidrogen inicialment a n = 1 rep, en casos separats, fotons de 12,75 eV, 12,00 eV i 15,00 eV. Analitza quina transició o procés és compatible amb el model ideal.

Amb 12,75 eV, l’energia final seria −13,6 + 12,75 = −0,85 eV. La condició −13,6/n² = −0,85 dona n² = 16 i n = 4. És una diferència entre nivells lligats permesa pel model.

Amb 12,00 eV, l’energia final candidata seria −1,60 eV. Resoldre n² = 13,6/1,60 dona 8,5, que no és el quadrat d’un n enter. Per tant, no coincideix amb una transició lligada des del fonamental en el model de línies ideals, i tampoc arriba al llindar d’ionització de 13,6 eV.

Aquesta conclusió està limitada al model. No pretén descriure totes les interaccions possibles de radiació amb un medi real ni substituir una teoria detallada de les amplades espectrals.

Amb 15,00 eV hi ha prou energia per ionitzar des del fonamental. Si es produeix la fotoionització i negligim el retrocés del nucli, l’excés és 1,40 eV d’energia cinètica de l’electró.

Superar el llindar permet el balanç energètic; no demostra que cada fotó incident sigui absorbit ni proporciona una probabilitat. Igualment, conèixer els nivells no determina la intensitat relativa de les línies sense informació addicional sobre poblacions i transicions.

Una taula evita signes i interpretacions incorrectes

Escriu nivell inicial, nivell final, diferència positiva i longitud d’ona. Si hi ha diverses etapes, calcula cada fotó abans de sumar energies. Si hi ha absorció lligada, comprova que n és un enter admissible.

El repàs de física moderna connecta el model amb la quantització. El formulari de Física serveix per estudiar; la seva existència no implica autorització per portar-lo a una prova.

Preguntes freqüents

Una energia atòmica negativa implica un fotó d’energia negativa?

No. L’energia del fotó emès és la diferència positiva entre els nivells inicial i final.

Una cascada emet sempre el mateix nombre de fotons que una caiguda directa?

No. El recorregut especificat pot incloure diverses emissions, tot i conservar la mateixa diferència total d’energia.

Qualsevol energia inferior a la ionització produeix una absorció lligada?

No en el model de línies ideals. Ha de coincidir amb una diferència entre nivells permesos des de l’estat inicial.

Resta nivells abans de convertir a longitud d’ona

Refes la primera emissió des de n = 4 fins a n = 2 i compara la seva energia amb la de n = 5. Explica després per què la longitud d’ona canvia en sentit contrari.

Per seguir estudiant models quàntics amb límits explícits, consulta Física per a Catalunya i revisa continguts, preu i condicions actuals de compra. Consulta per separat les orientacions de la convocatòria.