Esfera y plano: circunferencia de intersección en PAU

La intersección entre una esfera y un plano puede ser una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. No conviene empezar eliminando variables sin decidir antes cuál de esas situaciones corresponde a los datos. La distancia del centro al plano ofrece una clasificación geométrica inmediata y permite controlar el álgebra.

Resolveremos tres ejercicios originales. Trabajamos en coordenadas cartesianas ortonormales con las mismas unidades en los tres ejes. Las distancias que aparecen son longitudes geométricas, no cantidades con signo.

La relación que organiza el problema

Una esfera de centro C y radio R cumple |X−C|²=R². Si d es la distancia de C al plano, hay corte circular cuando d<R. Su centro H es el pie de la perpendicular desde C al plano y su radio r cumple r²=R²−d².

La fórmula procede de un triángulo rectángulo: C, H y cualquier punto X de la circunferencia forman un triángulo con hipotenusa R y catetos d y r. Es una relación de cuadrados de longitudes.

Cuando d=R, resulta r=0 y solo hay tangencia. Cuando d>R, R²−d² es negativo: no se obtiene un radio real ni una circunferencia imaginaria que debamos dibujar como corte real.

Ejercicio 1: un plano horizontal

La esfera es (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=25 y el plano es z=6. Calcula centro y radio de su intersección.

Paso 1. Leer los datos. C=(1,−2,3) y R=5. El término (y+2)² corresponde a coordenada −2, no +2.

Paso 2. Obtener la distancia. La separación vertical entre C y z=6 es d=|3−6|=3. Como 3<5, el corte es circular.

Paso 3. Proyectar. La perpendicular al plano es vertical, así que H=(1,−2,6). Conservamos x e y y cambiamos z.

Paso 4. Calcular el radio. r=√(25−9)=4.

La circunferencia queda descrita por el sistema z=6 y (x−1)²+(y+2)²=16. La segunda ecuación sola describe un cilindro en el espacio; hay que mantener la condición z=6 para identificar el corte.

Ejercicio 2: un plano oblicuo

Usamos la misma esfera y el plano 2x−y+2z−19=0. Encuentra H y r sin suponer que basta cambiar una coordenada.

Paso 1. Normal y distancia. Un vector normal es n=(2,−1,2), cuyo módulo es 3. Al sustituir C en el plano obtenemos 2+2+6−19=−9. Por tanto, d=|−9|/3=3.

Paso 2. Recta perpendicular. H=C+t·n. Exigir que pertenezca al plano da −9+t|n|²=0. Como |n|²=9, t=1 y H=(3,−3,5).

Paso 3. Verificar la proyección. 2·3−(−3)+2·5−19=0. Además, H−C=(2,−1,2) es paralelo a la normal y tiene longitud 3. Las dos condiciones comprueban que es el pie perpendicular.

Paso 4. Radio. r=√(25−9)=4 otra vez. La igualdad del radio con el primer ejercicio se debe a la misma distancia al centro, aunque cambien plano y centro del corte.

Puedes expresar la circunferencia mediante 2x−y+2z−19=0 y (x−3)²+(y+3)²+(z−5)²=16. Esta segunda esfera, junto con el plano, describe el mismo círculo. Su centro H no sustituye al centro C de la esfera original: son objetos geométricos diferentes.

Ejercicio 3: clasificar una familia de planos

Para la esfera inicial, estudia los planos z=k según el parámetro real k. No necesitas resolver un sistema distinto para cada valor.

Paso 1. Distancia en función de k. d=|k−3|.

Paso 2. Corte circular. |k−3|<5 equivale a −2<k<8. En ese intervalo, H=(1,−2,k) y r=√(25−(k−3)²).

Paso 3. Tangencia. |k−3|=5 da k=−2 o k=8. Los puntos de contacto son (1,−2,−2) y (1,−2,8), respectivamente.

Paso 4. Sin corte. Si k<−2 o k>8, el plano queda fuera de la esfera.

El radio máximo se obtiene con k=3, cuando d=0 y r=5. En ese caso el plano atraviesa C y el corte es una circunferencia máxima. No todos los planos secantes generan ese radio: cuanto más se aleja el plano del centro, menor es el círculo.

Tres controles que evitan errores de interpretación

Al calcular distancia a un plano, divide entre el módulo de la normal. Multiplicar todos los coeficientes de su ecuación por dos no cambia el plano ni puede duplicar su distancia al centro.

Para hallar H, conserva el signo del valor sustituido en la ecuación; para hallar d, toma valor absoluto. Esas tareas usan la misma expresión algebraica de maneras distintas. Introducir un valor absoluto en la fórmula vectorial de proyección puede desplazar H al lado equivocado.

Finalmente, no confundas la esfera con la bola. Aquí estudiamos la superficie de puntos a distancia exactamente R. Su corte secante es una circunferencia; si estudiásemos el sólido interior, el corte sería un disco.

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Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los ejercicios, datos y desarrollos son originales. No se atribuyen a un examen oficial ni predicen su frecuencia o los criterios de una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿El centro de la circunferencia coincide siempre con el de la esfera?

Solo cuando el plano pasa por el centro de la esfera. En general es la proyección perpendicular de ese centro sobre el plano.

¿Qué ocurre cuando la distancia del centro al plano iguala el radio?

El plano es tangente y la intersección es un único punto, no una circunferencia de radio positivo.

¿Basta con dar el centro y el radio para escribir la circunferencia espacial?

También hay que indicar el plano que la contiene; en el espacio pueden existir circunferencias de igual centro y radio en planos diferentes.

Proyecta el centro y comprueba las dos ecuaciones

Escoge otro valor de k dentro del intervalo secante y comprueba el radio sustituyendo en la esfera. Mantén juntos el plano y la condición circular. Antes de entregar, indica si describes una superficie o un sólido: esa decisión determina si la intersección es una circunferencia o un disco.

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