Crecemento loxístico: capacidade de carga e taxa resolta

Unha poboación grande pode engadir máis individuos por día ca unha pequena, aínda que cada individuo contribúa a un crecemento relativo menor. Se confundimos esas dúas taxas, situaremos mal o máximo da curva loxística.

Esta práctica de ampliación emprega un modelo continuo con parámetros dados. As poboacións e as cifras son ficticias. Non calcularemos un reconto a partir de capturas nin suporemos duplicación indefinida: estudaremos como a densidade modifica unha taxa instantánea.

Define o que permanece fixo no modelo

N é o tamaño da poboación, K a capacidade de carga e r unha taxa intrínseca positiva. Durante cada caso mantemos r e K fixos, sen perturbacións adicionais, e usamos:

dN/dt = rN(1−N/K).

A taxa por individuo é (1/N)dN/dt=r(1−N/K), para N positivo. A taxa total ten unidades de individuos por unidade de tempo; a taxa por individuo ten unidades de tempo inverso.

A referencia de OpenStax sobre crecemento e regulación presenta este modelo e explica que as condicións reais poden alterar K. As táboas e as preguntas seguintes son orixinais. Non interpretaremos o modelo como unha lei exacta de todas as poboacións.

Exercicio 1: dúas poboacións coa mesma taxa total

Nun sistema idealizado, r=0,30 día⁻¹ e K=600 individuos. Calcula as taxas totais e por individuo para N=120, 300 e 480.

Para N=120, o factor limitante é 1−120/600=0,8. O cambio total é 0,30·120·0,8=28,8 individuos por día. A taxa por individuo é 0,30·0,8=0,24 día⁻¹.

Para N=300, o factor é 0,5. O cambio total é 45 individuos por día e a taxa por individuo, 0,15 día⁻¹.

Para N=480, o factor é 0,2. O cambio total é 28,8 individuos por día e a taxa por individuo, 0,06 día⁻¹.

N	Cambio total, individuos/día	Taxa por individuo, día⁻¹
120	28,8	0,24
300	45	0,15
480	28,8	0,06

As poboacións de 120 e 480 teñen o mesmo aumento total instantáneo, pero non o mesmo aumento relativo. A maior reúne catro veces máis individuos e cada un contribúe á cuarta parte da taxa relativa.

Os valores decimais son taxas dun modelo continuo, non afirmacións de que existan fraccións dun animal. Unha taxa instantánea tampouco é automaticamente o número exacto que se engadirá nun día: N cambia durante ese día e, con el, cambia a taxa.

Por iso non afirmamos N mañá=120+28,8 como solución exacta. Esa suma sería unha aproximación por un paso temporal, que necesitaría indicarse expresamente. Aquí calculamos a pendente no estado dado.

Exercicio 2: localizar o máximo sen escoller a poboación maior

Mantén r=0,30 e K=600. Unha proposta di: «Canto maior é N, máis individuos se engaden por día; o máximo ocorre en 600». Comproba a proposta.

A taxa é r(N−N²/K). Completando o cadrado, N−N²/K=K/4−(N−K/2)²/K. O termo cadrado réstase e non pode ser negativo. O máximo ocorre cando N=K/2=300.

O valor máximo é rK/4=0,30·600/4=45 individuos por día, coherente coa táboa. En N=600 o factor 1−N/K é cero e o cambio neto é cero.

A taxa por individuo non ten o mesmo máximo interior: r(1−N/K) diminúe ao aumentar N. Dentro de 0<N<K, unha poboación moi pequena ten unha taxa relativa próxima a r, aínda que o aumento total pode ser pequeno porque hai poucos individuos.

Esta separación explica a forma da curva. Por debaixo de K/2, a pendente aumenta conforme N medra. Por encima de K/2 e por debaixo de K, a poboación aínda aumenta, pero a pendente diminúe. Menor pendente positiva non significa descenso do número de individuos.

Como comprobación, para N=540 a taxa é 0,30·540·0,1=16,2 individuos por día. A poboación aumenta máis lentamente ca en 300; non baixa, porque o signo segue sendo positivo.

Exercicio 3: cambia K e conserva o instante inicial

Nun novo escenario a poboación ten N=480. Un cambio do ambiente reduce a capacidade de carga de 600 a 400. Supoñemos que r segue sendo 0,30 e que a nova ecuación se aplica desde ese instante. Calcula a taxa inmediatamente posterior.

O factor pasa a 1−480/400=−0,2. O cambio é 0,30·480·(−0,2)=−28,8 individuos por día. O signo negativo indica descenso neto no modelo.

N non se converte instantaneamente en 400. K é un parámetro do ambiente, non unha orde que elimine de golpe oitenta individuos. A ecuación describe o cambio a partir do novo estado e a súa evolución posterior.

Se, en cambio, o ambiente elevase K a 800, coa mesma N e r, o factor sería 0,4 e a taxa 57,6 individuos por día. Unha poboación idéntica pode ter taxas diferentes baixo capacidades de carga distintas.

Non aplicamos a conclusión «máximo 45» ao novo escenario con K=800. O novo máximo sería rK/4=60, en N=400. A afirmación inicial dependía de K=600.

O exercicio non identifica a causa ambiental real: nutrientes, espazo e outras condicións requirirían datos. Tampouco afirma que o cambio real de r sexa imposible; mantelo fixo é un suposto explícito para illar o efecto de K.

Comprobar o signo antes de interpretar a curva

Con r positivo, o modelo dá aumento para 0<N<K, equilibrio neto en N=K e descenso para N>K. N=0 tamén é un equilibrio matemático. Estas comprobacións detectan erros de signo antes de calcular números.

Un equilibrio neto non implica ausencia de nacementos, mortes ou actividade. Tampouco a curva continua básica reproduce por si soa oscilacións e atrasos dunha poboación real. Non engadimos estes comportamentos á ecuación sen modificar o modelo.

A práctica de crecemento bacteriano traballa tempos de duplicación nun tramo exponencial. Aquí a taxa relativa deixa de ser constante ao cambiar N. Na libreta de erros, separa pendente total, taxa relativa e tamaño.

Preguntas frecuentes

O aumento máximo ocorre cando N é igual a K?

Non. No modelo continuo con r positivo e K fixos, o aumento total rN(1−N/K) é máximo en N=K/2; en K o cambio neto é cero.

Taxa de cambio cero significa que non nace nin morre ninguén?

Non. O modelo describe un cambio neto; nacementos e mortes poden compensarse.

Unha capacidade de carga é constante en calquera ecosistema?

Non. Fixámola para resolver estes casos, pero pode cambiar coas condicións e o modelo non reproduce toda a dinámica dunha poboación real.

Separa tamaño e velocidade de aumento

Refai a táboa para K=800 e explica por que o máximo mudou sen cambiar r. Para preparar interpretación de datos xunto cos demais bloques, consulta a ficha de Bioloxía de Galicia, dispoñible para comprar cos contidos e as condicións actuais.