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Sistemas de ecuaciones: Gauss, Rouché-Frobenius, Cramer y discusión con parámetroMatemáticas CCSS II · PAU Región de Murcia
En la PAU de la Región de Murcia, Red Bachiller presenta los sistemas lineales como ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente y cuya clasificación exige comparar los rangos de A y su ampliada A*. Si los rangos coinciden, hay solución; será única cuando el rango alcance el número de incógnitas. Si difieren, el sistema es incompatible.
Un determinante nulo no basta para decidir la clasificación. Gauss transforma la matriz ampliada mediante operaciones de fila, mientras que Cramer exige un determinante de coeficientes distinto de cero.
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Preguntas frecuentes
¿Qué debo hacer si el determinante de la matriz de coeficientes es cero?
Compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. En un sistema cuadrado, con determinante nulo, rangos iguales dan infinitas soluciones y rangos distintos indican incompatibilidad.
¿Las operaciones de Gauss afectan también a los términos independientes?
Sí, cada operación debe aplicarse a toda la fila de la matriz ampliada, incluida la columna de términos independientes. Omitir esa columna puede cambiar las soluciones.
¿Cómo escribo todas las soluciones de un sistema indeterminado?
Expresa las incógnitas mediante una familia con n − r(A) parámetros libres, donde n es el número de incógnitas. Una solución particular no sustituye a esa familia.
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