Òrbita el·líptica: pericentre, apocentre i energia

Una òrbita el·líptica no té una sola distància al centre ni una velocitat constant. Si substitueixes qualsevol radi a la fórmula de velocitat circular, obtindràs un moviment circular diferent del que descriu l’enunciat.

En aquesta pràctica calcularàs la velocitat al pericentre i a l’apocentre, comprovaràs el moment angular i compararàs òrbites amb el mateix semieix major. Els tres exercicis utilitzen un planeta hipotètic i un model newtonià de dos cossos, amb la massa del satèl·lit negligible davant la del planeta.

Les dades geomètriques que necessites

Anomenem rₚ la distància mínima al centre i rₐ la màxima. Són distàncies al centre del planeta, no altures sobre la superfície. El semieix major és a = (rₚ+rₐ)/2 i l’excentricitat és e = (rₐ−rₚ)/(rₐ+rₚ).

Escrivim μ = GM. L’energia mecànica per unitat de massa és ε = v²/2−μ/r. Per a l’el·lipse, ε = −μ/(2a). Igualant les dues expressions obtenim:

v² = μ(2/r−1/a).

El tractament de les òrbites el·líptiques a OpenStax justifica l’energia en funció del semieix major. Aquí desenvolupem comptes originals a partir d’aquesta relació. Ignorem fregament, motors, pertorbacions d’altres cossos i relativitat.

Primer exercici: geometria i energia d’una el·lipse

Dades. μ = 3,92·10¹⁴ m³/s², rₚ = 7,00·10⁶ m i rₐ = 2,10·10⁷ m. El satèl·lit té una massa de 200 kg. Suposem que la trajectòria no talla el planeta.

El semieix major és a = (7,00·10⁶+2,10·10⁷)/2 = 1,40·10⁷ m. L’excentricitat val e = 1,40·10⁷/2,80·10⁷ = 0,50.

L’energia específica és ε = −3,92·10¹⁴/(2·1,40·10⁷) = −1,40·10⁷ J/kg. L’energia total és E = mε = −2,80·10⁹ J.

El signe negatiu identifica una òrbita lligada dins del model amb energia potencial nul·la a l’infinit. No significa que l’energia cinètica sigui negativa. La cinètica és positiva i canvia durant el recorregut, mentre la suma amb la potencial es conserva.

Tampoc no podem calcular l’altura mínima sobre la superfície perquè no s’ha donat el radi del planeta. Restar un radi terrestre memoritzat introduiria una dada que no pertany a aquest planeta hipotètic.

Segon exercici: velocitats als extrems i comprovació angular

Pregunta. Amb les mateixes dades, calcula vₚ i vₐ.

Al pericentre:

vₚ² = 3,92·10¹⁴·(2/(7,00·10⁶)−1/(1,40·10⁷)) = 8,40·10⁷ m²/s².

Per tant, vₚ = 9,165·10³ m/s, aproximadament 9,17 km/s.

A l’apocentre:

vₐ² = 3,92·10¹⁴·(2/(2,10·10⁷)−1/(1,40·10⁷)) = 9,333·10⁶ m²/s².

Resulta vₐ = 3,055·10³ m/s, aproximadament 3,06 km/s. El quocient vₚ/vₐ és 3, igual que rₐ/rₚ.

Als dos extrems, la velocitat és perpendicular al radi. Per això el moment angular específic és h = rv en aquests punts. Els dos productes donen aproximadament 6,416·10¹⁰ m²/s. Aquesta igualtat comprova independentment els resultats de l’energia.

En un punt intermedi de l’el·lipse, no has d’escriure h = rv amb la velocitat total sense comprovar l’angle. La fórmula general és h = rv sin φ, o equivalentment r multiplicat per la component transversal de la velocitat.

El satèl·lit va més ràpid prop del planeta. No recorre arcs de la mateixa longitud en temps iguals; conserva l’àrea escombrada per unitat de temps respecte al focus.

Tercer exercici: mateix semieix major, forma diferent

Dades noves. Una segona el·lipse al voltant del mateix planeta té rₚ = 1,00·10⁷ m i rₐ = 1,80·10⁷ m. Compara energia específica i període amb l’òrbita anterior.

El nou semieix major és també 1,40·10⁷ m. Per tant, la seva energia específica torna a ser −1,40·10⁷ J/kg. La tercera llei de Kepler, T² = 4π²a³/μ, dona el mateix període per a totes dues òrbites.

La nova excentricitat és 8,00·10⁶/2,80·10⁷ = 2/7, aproximadament 0,286. Les formes són diferents, però l’energia específica i el període coincideixen perquè depenen del mateix a i del mateix μ.

Això no implica igualtat de velocitat al pericentre. Per a la segona òrbita:

vₚ² = μ(2/10⁷−1/(1,40·10⁷)) = 5,04·10⁷ m²/s².

Així, vₚ ≈ 7,10 km/s, menor que els 9,17 km/s de l’el·lipse més allargada. Mateixa energia total no significa mateixa distribució entre energia cinètica i potencial en qualsevol punt.

Per què no serveix imposar una òrbita circular

La fórmula v = √(μ/r) correspon al cas circular. A r = 7,00·10⁶ m donaria aproximadament 7,48 km/s, que no coincideix amb els 9,17 km/s calculats al pericentre el·líptic.

Aquesta diferència és física: a la mateixa distància, velocitats tangencials diferents poden pertànyer a òrbites diferents. Si necessites recuperar el cas circular, consulta la pràctica de velocitat orbital i escapament. El pilar de camps i energia ajuda a separar força, potencial i energia.

Preguntes freqüents

Puc utilitzar el radi del pericentre com si fos el semieix major?

No. El semieix major és la mitjana de les distàncies de pericentre i apocentre; només coincideix amb el radi constant en una òrbita circular.

El producte rv es conserva en tots els punts?

Es conserva r multiplicat per la component transversal de la velocitat. El producte amb la velocitat total serveix directament als extrems, on radi i velocitat són perpendiculars.

Dues el·lipses amb el mateix semieix major tenen el mateix període?

Sí, dins del mateix model de dos cossos i al voltant de la mateixa massa central, perquè la tercera llei depèn del semieix major i de μ.

Comprova l’òrbita amb dues conservacions

Resol primer amb l’energia i comprova després rₚvₚ = rₐvₐ. Si no coincideixen, revisa els radis i les potències de deu abans d’arrodonir. Per relacionar aquests càlculs amb la resta del bloc gravitatori, consulta Física per a Catalunya i les condicions de compra del curs.