Dipol elèctric: moment, energia i equilibri resolts

Dues forces iguals i oposades poden sumar zero i, alhora, fer girar un objecte. Un dipol elèctric en un camp uniforme és un exemple especialment útil: la força resultant és nul·la, però el moment de les forces depèn de l’orientació.

Treballarem amb dues càrregues fixes entre si, +q i −q, separades una distància ℓ. Els exercicis són un model mecànic ideal de dipol permanent, sense deformació, fregament ni radiació. No descriuen una molècula concreta ni pretenen predir-ne els nivells quàntics.

Moment dipolar, força i energia són magnituds diferents

El vector moment dipolar p apunta de la càrrega negativa a la positiva i té mòdul p = qℓ. En un camp extern uniforme E, les forces són +qE i −qE: la suma és zero. El moment respecte al centre és τ = p×E, amb mòdul pE sin θ.

La secció de dipols elèctrics d’OpenStax permet comprovar el sentit de p i el parell de forces. Per a l’energia de la interacció amb aquest camp extern, escollim U = 0 quan θ = 90° i obtenim U = −pE cos θ. El signe és coherent amb el treball del camp i l’energia potencial.

Una manera de comprovar-ho és derivar: el moment amb signe que fa disminuir θ és −dU/dθ = −pE sin θ. L’energia pròpia interna del dipol, constant perquè la separació és fixa, no intervé en les diferències d’orientació que calcularem.

Primer exercici: força nul·la i moment no nul

Dades. q = 3,0 nC, ℓ = 4,0 mm, E = 2,0·10⁴ N/C i θ = 30°. El camp és igual als dos punts on es troben les càrregues.

Primer convertim les unitats: q = 3,0·10⁻⁹ C i ℓ = 4,0·10⁻³ m. Així, p = 1,2·10⁻¹¹ C·m.

Cada força té mòdul qE = 3,0·10⁻⁹·2,0·10⁴ = 6,0·10⁻⁵ N. Com que són oposades, la força resultant és zero.

El moment té mòdul τ = 1,2·10⁻¹¹·2,0·10⁴·sin 30° = 1,2·10⁻⁷ N·m. No és zero perquè les forces no actuen sobre la mateixa recta quan el dipol està inclinat.

Pots comprovar el resultat sumant els moments de les dues forces: cadascuna té un braç perpendicular de (ℓ/2)sin θ. La suma és 2·qE·(ℓ/2)sin θ = qℓE sin θ. El factor dos desapareix perquè cada braç utilitza la meitat de la separació, no perquè una força deixi d’actuar.

Segon exercici: treball del camp en una rotació

Dades. Conservem el dipol anterior, amb pE = 2,4·10⁻⁷ J. Gira des de θ inicial = 120° fins a θ final = 0°.

Inicialment Uᵢ = −pE cos 120° = +1,2·10⁻⁷ J. Finalment U𝒇 = −pE cos 0° = −2,4·10⁻⁷ J. La variació és:

ΔU = U𝒇−Uᵢ = −3,6·10⁻⁷ J.

El treball del camp és Wcamp = −ΔU = +3,6·10⁻⁷ J. Si el dipol s’allibera des del repòs i no hi ha dissipació, aquesta disminució d’energia potencial es transforma en energia cinètica de rotació en arribar a l’orientació final.

Per calcular la velocitat angular necessitaríem el moment d’inèrcia, que no s’ha donat. No podem obtenir-la només amb p i E.

Si un agent extern controla lentament el moviment, mantenint negligible el canvi d’energia cinètica, el seu treball és aproximadament ΔU = −3,6·10⁻⁷ J. El signe negatiu indica que extreu energia mentre deixa que el camp afavoreixi l’alineació. Treball del camp i treball extern no són la mateixa quantitat amb el mateix signe.

Tercer exercici: dos moments nuls, estabilitat diferent

Pregunta. Compara θ = 0° i θ = 180°. En tots dos casos sin θ = 0 i el moment és nul. Són igualment estables?

A 0°, U = −pE, el valor mínim. Una petita desviació augmenta U i el moment tendeix a reduir-la: és un equilibri estable dins del model.

A 180°, U = +pE, el valor màxim. Una desviació petita permet disminuir U i el moment allunya el dipol de l’orientació oposada: és un equilibri inestable.

Amb les dades anteriors, portar lentament el dipol de 0° a 180° requereix treball extern ΔU = 2pE = 4,8·10⁻⁷ J. El camp fa el treball contrari, −4,8·10⁻⁷ J.

Sense fregament, estable no significa que el dipol quedi aturat després de qualsevol moviment. Si es deixa anar des d’una orientació desviada, pot passar per la posició estable i continuar girant o oscil·lant segons les condicions inicials. Per acabar quiet cal algun mecanisme de dissipació.

El límit que no pots oblidar: camp uniforme

La cancel·lació exacta de les forces exigeix que el camp extern sigui el mateix als dos extrems. En un camp no uniforme, les dues forces poden tenir mòduls o direccions diferents i aparèixer una força resultant.

Això separa aquest exercici del càlcul del camp creat pel mateix dipol en un altre punt. Aquí E és un camp extern donat. Per recuperar les regles de superposició, consulta el pilar de camp elèctric i potencial. La pràctica de treball i energia de tres càrregues tracta una configuració diferent; comprova els potencials sense confondre-la amb el parell de forces d’aquest model.

Preguntes freqüents

Un dipol neutre pot experimentar un moment de forces?

Sí. En un camp uniforme la força resultant és nul·la, però les forces oposades formen un parell quan el dipol no està alineat amb el camp.

Moment nul significa sempre equilibri estable?

No. Les orientacions paral·lela i antiparal·lela tenen moment nul, però corresponen respectivament a un mínim i un màxim de l’energia potencial.

El treball extern és sempre igual al canvi d’energia potencial?

Només en el procés controlat considerat, amb canvi d’energia cinètica negligible i sense altres treballs o dissipació, podem identificar-lo amb ΔU.

Dibuixa les dues forces abans de calcular l’energia

Comprova el sentit de cada força i de p abans d’introduir l’angle. Després resol la rotació amb una taula d’energies inicial i final. Per practicar camps, treball i conservació amb més situacions, consulta Física per a Catalunya i l’opció de compra del curs.